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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente usando frações parciais para integrar funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Para encontrar
e
, podemos escolher valores de
que simplificam a equação.
Primeiro, coloque
:
Segundo, coloque
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Isso resulta em:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
. Porém, notamos que quando
, o denominador original se torna zero, o que significa que temos uma assíntota vertical ali. Portanto, precisamos tratar a integral como uma integral imprópria:
Passo 9
Aplicando os limites na antiderivada:
Simplificando:
Passo 10
Observamos que
tende para
, o que faz com que a integral diverja para mais infinito negativo. Portanto, a integral não converge.
Resposta
A integral
não converge, ou seja, diverge para
.
Exercícios relacionados
Escreva as formas de decomposição em fraçōes parciais da funçăo (como no Exemplo 7). Nâo determine os valores numéricos dos coeficientes.
(b)
(b)
Prove que a sequência
definida por
é limitada.