f'''(x) = sen(x) , f(0) = 1 , f'(0) = 1 , f''(0) = 1

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função cuja terceira derivada é . Além disso, temos três condições iniciais: , e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente sobre integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar . Sabemos que . Para achar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 3

Sabemos que . Vamos usar isso para encontrar :
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar integrando :
é outra constante de integração.

Passo 5

Usamos a condição para achar :
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos integrar para encontrar :
é a terceira constante de integração.

Passo 7

Usamos a condição para encontrar :
Então, a função final é:

Resposta

A função que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais é:

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