Prove que a sequência
definida por
é limitada.
Passo 1
Então, a gente tem que provar que a sequência definida por
é limitada. Isso significa que existe algum número que seja maior ou igual a todos os termos da sequência e outro que seja menor ou igual a todos eles. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como comparar termos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para ver como ela se comporta quando
cresce muito. A expressão é
. Quando
fica bem grande, os termos constantes (1 e 3) não fazem tanta diferença, então a sequência se aproxima de
.
Passo 3
Mas precisamos provar que a sequência não vai além de certos valores, tanto para cima quanto para baixo. Vamos encontrar limites superiores e inferiores.
Passo 4
Observando
, podemos reescrever como:
Notamos que
porque o denominador é
que é maior que
, então a fração é menor que 2. Além disso,
é sempre positiva.
Passo 5
Portanto, temos que:
já que
para todo
.
Passo 6
Para o limite inferior, percebemos que todos os termos são positivos porque
e
para todo
. Então,
.
Passo 7
Assim, concluímos que a sequência
está sempre entre 0 e 3.
Resposta
A sequência
é limitada, já que
para todo
.
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Determine se a sequência
definida por
é limitada.
Encontre a fórmula geral da sequência
definida por
e
para
.