Prove que a sequência definida por é limitada.

Passo 1

Então, a gente tem que provar que a sequência definida por é limitada. Isso significa que existe algum número que seja maior ou igual a todos os termos da sequência e outro que seja menor ou igual a todos eles. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como comparar termos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para ver como ela se comporta quando cresce muito. A expressão é . Quando fica bem grande, os termos constantes (1 e 3) não fazem tanta diferença, então a sequência se aproxima de .

Passo 3

Mas precisamos provar que a sequência não vai além de certos valores, tanto para cima quanto para baixo. Vamos encontrar limites superiores e inferiores.

Passo 4

Observando , podemos reescrever como:
Notamos que porque o denominador é que é maior que , então a fração é menor que 2. Além disso, é sempre positiva.

Passo 5

Portanto, temos que:
já que para todo .

Passo 6

Para o limite inferior, percebemos que todos os termos são positivos porque e para todo . Então, .

Passo 7

Assim, concluímos que a sequência está sempre entre 0 e 3.

Resposta

A sequência é limitada, já que para todo .

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Determine se a sequência definida por é limitada.
Encontre a fórmula geral da sequência definida por e para .