© integral x e^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de problema está na área de Cálculo, especificamente no estudo de integrais que envolvem funções exponenciais multiplicadas por polinomiais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será e o que será . Normalmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

No nosso caso, vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^4x , dx Rightarrow v = integral e^4x , dx = 14 e^4x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x e^4x , dx = u , v - integral v , du = x cdot 14 e^4x - integral 14 e^4x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
= x4 e^4x - 14 integral e^4x , dx
E integrar novamente integral e^4x , dx = 14 e^4x :

Passo 6

Substituindo de volta:
= x4 e^4x - 14 cdot 14 e^4x + C
= x4 e^4x - 116 e^4x + C

Passo 7

Podemos fatorar = e^4x ( x4 - 116 ) + C para deixar a resposta mais organizada:

Resposta

A integral e^4x4 ( x - 14 ) + C é igual a:

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