(d) lim x +infty(1+1x)^3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x +infty(1+1x)^3 x. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como funções da forma (1+1x)^x se comportam quando x tende ao infinito, além de aplicar propriedades de exponenciação e logaritmos para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar nosso trabalho. Temos:
(1+1x)^3x = [(1+1x)^x]^3
Isso significa que podemos encontrar o limite de (1+1x)^x quando x tende ao infinito e depois elevar esse resultado à potência 3.

Passo 3

Vamos focar em encontrar o limite de (1+1x)^x quando x +infty. Esse é um limite clássico que nos leva ao número de Euler, e. Sabemos que:
limx +infty (1+1x)^x = e
Isso ocorre porque, conforme x aumenta, a expressão se aproxima de uma definição fundamental de e.

Passo 4

Agora, voltando à nossa expressão original:
[(1+1x)^x]^3
Substituímos o limite que encontramos:
limx +infty [(1+1x)^x]^3 = e^3

Resposta

O limite é e^3.

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