Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica que simplifica a integral, transformando-a em algo mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma substituição que simplifique o integrando
. Observando o denominador
, podemos tentar uma substituição onde
. Isso vai nos ajudar a transformar a integral em termos de
, facilitando a resolução.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Note que temos
na expressão de
, que aparece na nossa integral original.
Passo 4
Vamos rearranjar a expressão para
de forma a substituir na integral:
Assim,
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original:
Precisamos ajustar os limites de integração para
. Quando
,
. Quando
,
. Então, os novos limites são de 1 a 2.
Passo 6
Agora, a integral fica:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
, ou seja,
.
Passo 7
Integrando, temos:
Sabemos que
, então simplificando:
Resposta
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©
(d)
(b)
(d)