Calcule integral0^1 4 x^21+x^3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica que simplifica a integral, transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma substituição que simplifique o integrando . Observando o denominador , podemos tentar uma substituição onde . Isso vai nos ajudar a transformar a integral em termos de , facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx(1 + x^3) , dx = 3x^2 , dx em relação a para encontrar :
Note que temos na expressão de , que aparece na nossa integral original.

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão para x^2 , dx = du3 de forma a substituir na integral:
Assim, .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral0^1 4 x^21+x^3 , dx = integralu(0)^u(1) 43 cdot 1u , du
Precisamos ajustar os limites de integração para . Quando , . Quando , . Então, os novos limites são de 1 a 2.

Passo 6

Agora, a integral fica:
43 integral1^2 1u , du
A integral de em relação a é o logaritmo natural de , ou seja, .

Passo 7

Integrando, temos:
43 [ ln|u| ]1^2 = 43 (ln 2 - ln 1)
Sabemos que , então simplificando:

Resposta

43 ln 2

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