c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas e técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está sendo integrado aqui:
. Essa expressão sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica, porque ela se parece com a identidade trigonométrica
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Com isso, temos que
. Substituindo na integral original:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 5
A integral de
é um pouco mais complicada, mas sabemos que:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar
e
:
- Lado oposto:
- Lado adjacente: 1
- Hipotenusa:
Então,
Substituindo na expressão da integral:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando para
:
E para
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: