c) integral0^1 raiz1+x^2 d x ( integral0^1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas e técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo integrado aqui: . Essa expressão sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica, porque ela se parece com a identidade trigonométrica .

Passo 3

Vamos fazer a substituição integral raiz1 + tan^2theta cdot sec^2theta , dtheta . Com isso, temos que . Substituindo na integral original:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica:
raiz1 + tan^2theta = raizsec^2theta = sectheta
Então, a integral fica:
integral sectheta cdot sec^2theta , dtheta = integral sec^3theta , dtheta

Passo 5

A integral de integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 ln |sectheta + tantheta| + C é um pouco mais complicada, mas sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original sectheta = raiz1 + x^2 e tantheta = x . Sabemos que 12 raiz1 + x^2 cdot x + 12 ln ( raiz1 + x^2 + x ) + C , então podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar e :
  • Lado oposto:
  • Lado adjacente: 1
  • Hipotenusa:
Então,
Substituindo na expressão da integral:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ 12 x raiz1 + x^2 + 12 ln (x + raiz1 + x^2) ]0^1
Calculando para 12 cdot 1 cdot raiz2 + 12 ln (1 + raiz2) :
12 cdot 0 cdot 1 + 12 ln (0 + 1) = 0
E para :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
raiz22 + 12 ln (1 + raiz2)

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