e) integral1^2 x^2 raizx^3+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais definidas usando substituição u. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição e aplicar as regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por u = x^3 + 1 . Observando a integral, temos dentro da raiz quadrada. Vamos definir:
Isso simplifica a parte dentro da raiz.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = du3 :
Isso significa que:
Então, podemos substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral1^2 x^2 raizx^3+1 , dx = integralu(1)^u(2) raizu cdot du3 = 13 integralu(1)^u(2) u^12 , du
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração. Quando u(1) = 1^3 + 1 = 2 :
u(2) = 2^3 + 1 = 9
Quando 13 integral2^9 u^12 , du :
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos agora integrar integral u^12 , du = u^3232 = 23 u^32 em relação a 13 cdot 23 u^32 = 29 u^32 :
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração e calculamos:
29 [ u^32 ]2^9 = 29 (9^32 - 2^32)
Calculando cada termo:
9^32 = (raiz9)^3 = 3^3 = 27
2^32 = (raiz2)^3 = 2raiz2
Então:
29 (27 - 2raiz2) = 549 - 4raiz29 = 6 - 4raiz29

Resposta

O valor da integral é .

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