e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais definidas usando substituição u. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição e aplicar as regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por . Observando a integral, temos dentro da raiz quadrada. Vamos definir:
Isso simplifica a parte dentro da raiz.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso significa que:
Então, podemos substituir por na integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração. Quando :
Quando :
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos agora integrar em relação a :
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração e calculamos:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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c)
d)
j)
e)