j) integral[sin (3 x)+sin (5 x)] d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral[sin (3 x)+sin (5 x)] , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração, especialmente as integrais das funções seno.

Passo 2

Primeiro, observe que a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais dessas funções. Ou seja:
integral [sin(3x) + sin(5x)] , dx = integral sin(3x) , dx + integral sin(5x) , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de sin(kx) , dx é conhecida e pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
onde k é uma constante e C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando a fórmula para cada termo:
  1. Para integral sin(3x) , dx:
    -13 cos(3x) + C1
  2. Para integral sin(5x) , dx:
    -15 cos(5x) + C2

Passo 5

Como estamos somando as duas integrais, podemos combinar as constantes de integração ( C1 e C2) em uma única constante C. Assim, a expressão fica:
-13 cos(3x) - 15 cos(5x) + C

Resposta

A integral de sin(3x) + sin(5x) em relação a x é:
-13 cos(3x) - 15 cos(5x) + C

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