d) integral-1^-2(1x^2+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de -1 a -2. Isso envolve conceitos de cálculo integral, onde vamos encontrar a antiderivada da função e depois aplicar os limites de integração para achar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos perceber que a integral está de -1 para -2, ou seja, os limites estão “invertidos”. Normalmente, a gente integra de um número menor para um maior. Mas dá pra trocar a ordem dos limites trocando o sinal da integral. Ou seja:
integral-1^-2 (1x^2 + x) dx = -integral-2^-1 (1x^2 + x) dx
Isso facilita a resolução porque agora estamos integrando de -2 para -1, que é a ordem convencional.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada da função integral 1x^2 dx = integral x^-2 dx = x^-1-1 + C = -1x + C . A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integrando integral x dx = x^22 + C :
-1x + x^22 + C
  1. Integrando :
Então, a antiderivada completa é:

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração de -2 para -1. A fórmula geral para a integral definida é:
integrala^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Onde -1-1 + (-1)^22 - ( -1-2 + (-2)^22 ) é a antiderivada de -1-1 = 1 (-1)^22 = 12 .
Aplicando isso, temos:
-1-2 = 12 (-2)^22 = 42 = 2
Vamos calcular cada parte:
  1. Para :
Então,
  1. Para :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença 32 - 52 = -22 = -1 :
integral-1^-2 (1x^2 + x) dx = -(-1) = 1
Lembrando que a gente trocou os limites no segundo passo, então precisamos aplicar o sinal negativo:

Resposta

O valor da integral é 1.

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