Exercício 3: Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função dada. A função é uma função por partes, que muda de expressão dependendo do valor de . Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio e como funcionam as funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Passo 3
A função está dividida em três partes:
se
se
se
Vamos ver para quais valores de essas expressões são válidas.
Passo 4
Para a primeira parte, está definida para todo que é menor que .
Para a segunda parte, está definida para todo cujo valor absoluto é menor ou igual a 3, ou seja, .
Para a terceira parte, é uma constante definida para todo maior que 3.
Passo 5
Juntando todas as partes, vemos que a função está definida para todos os valores de que são menores que , entre e 3, e maiores que 3. Não há valores de que faltam nesse intervalo, então o domínio é todo os reais.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Vamos analisar cada parte:
Para : A função é , que é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 9.
Para : A função é , uma reta com inclinação -2 e passando pela origem.
Para : A função é constante , ou seja, uma linha horizontal.
Passo 7
Vamos plotar cada parte:
Primeira parte: Para , por exemplo, se , .
Segunda parte: Para , ; para , .
Terceira parte: Para qualquer , .
Passo 8
Juntando tudo, o gráfico terá três segmentos:
Uma reta subindo até o ponto .
Uma reta descendo de até .
Uma linha horizontal em para .
Resposta
O domínio da função é todos os números reais, ou seja, . O gráfico é composto por uma reta crescente para , uma reta decrescente entre e 3, e uma linha horizontal em para .