© Qual a interpretação geométrica de integrala^b f(x) d x se f(x) assumir valores positivos e negativos? Ilustre com um diagrama.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir qual é a interpretação geométrica da integral integrala^b f(x) dx quando a função f(x) assume valores positivos e negativos. Basicamente, vamos ver como essa integral representa áreas no gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a integral definida. A integral integrala^b f(x) dx calcula a área entre o gráfico da função f(x) e o eixo x, no intervalo de a até b.

Passo 3

Quando f(x) é positiva no intervalo, a área calculada pela integral está acima do eixo x. Isso significa que a integral será positiva, representando uma área “positiva”.

Passo 4

Por outro lado, quando f(x) é negativa no intervalo, a área está abaixo do eixo x. Nesse caso, a integral será negativa, representando uma área “negativa”.

Passo 5

Agora, se a função f(x) muda de sinal no intervalo de a até b, ou seja, ela é positiva em algumas partes e negativa em outras, a integral vai somar as áreas positivas e negativas. O resultado final dependerá de qual área tem maior intensidade.

Passo 6

Para ilustrar isso, imagine o gráfico de uma função que está acima do eixo x em uma parte do intervalo e abaixo em outra. A parte acima contribui positivamente para a integral, enquanto a parte abaixo contribui negativamente.

Resposta

A integral integrala^b f(x) dx representa a área total entre o gráfico de f(x) e o eixo x no intervalo de a a b. Quando f(x) é positiva, a área é considerada positiva, e quando f(x) é negativa, a área é considerada negativa. Se a função cruza o eixo x, as áreas positivas e negativas podem se cancelar parcialmente, dependendo de qual área tem maior valor.

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