(a) Enuncie o Teorema da Variação Total.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para enunciar o Teorema da Variação Total. Primeiro, vamos entender o que estamos falando aqui. Esse teorema faz parte do cálculo diferencial e está relacionado a como uma função muda quando suas variáveis mudam. Para resolver isso, a gente vai precisar entender conceitos básicos de derivadas parciais e como elas se combinam para formar a derivada total.

Passo 2

Antes de mais nada, é importante saber o que são derivadas parciais. Imagine que você tem uma função que depende de várias variáveis, tipo . A derivada parcial em relação a mostra como muda quando apenas muda, mantendo constante, e vice-versa para .

Passo 3

Agora, o Teorema da Variação Total nos ajuda a encontrar a derivada total de uma função que depende de várias variáveis que, por sua vez, dependem de uma terceira variável. Por exemplo, se e dependem de , queremos saber como muda em relação a .

Passo 4

O teorema basicamente diz que a derivada total de em relação a é a soma das derivadas parciais de em relação a cada uma das suas variáveis, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a . Isso conecta as mudanças internas das variáveis com a mudança total da função.

Passo 5

Vamos colocar isso em fórmulas pra deixar mais claro. Se é uma função de e , e e são funções de , então a derivada total de em relação a é dada por:
Isso significa que para achar como muda em relação a , a gente calcula quanto muda com e multiplica pela mudança de com , faz o mesmo para , e soma tudo.

Resposta

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