(a) Enuncie o Teorema da Variação Total.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para enunciar o Teorema da Variação Total. Primeiro, vamos entender o que estamos falando aqui. Esse teorema faz parte do cálculo diferencial e está relacionado a como uma função muda quando suas variáveis mudam. Para resolver isso, a gente vai precisar entender conceitos básicos de derivadas parciais e como elas se combinam para formar a derivada total.
Passo 2
Antes de mais nada, é importante saber o que são derivadas parciais. Imagine que você tem uma função que depende de várias variáveis, tipo
. A derivada parcial em relação a
mostra como
muda quando apenas
muda, mantendo
constante, e vice-versa para
.
Passo 3
Agora, o Teorema da Variação Total nos ajuda a encontrar a derivada total de uma função que depende de várias variáveis que, por sua vez, dependem de uma terceira variável. Por exemplo, se
e
dependem de
, queremos saber como
muda em relação a
.
Passo 4
O teorema basicamente diz que a derivada total de
em relação a
é a soma das derivadas parciais de
em relação a cada uma das suas variáveis, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a
. Isso conecta as mudanças internas das variáveis com a mudança total da função.
Passo 5
Vamos colocar isso em fórmulas pra deixar mais claro. Se
é uma função de
e
, e
e
são funções de
, então a derivada total de
em relação a
é dada por:
Isso significa que para achar como
muda em relação a
, a gente calcula quanto
muda com
e multiplica pela mudança de
com
, faz o mesmo para
, e soma tudo.
Resposta
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