Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para a gente justificar por que o vetor A G é uma combinação linear dos vetores u, v e w. Além disso, precisamos encontrar as coordenadas desse vetor em relação à base B = u, v, w. Isso tudo faz parte do conteúdo de combinação linear e mudança de base na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Isso significa que o vetor A G pode ser escrito como uma soma de múltiplos dos vetores u, v e w. Ou seja, existeem escalares (números) c1, c2 e c3 tais que:
A G = c1 u + c2 v + c3 w
Se conseguirmos encontrar esses coeficientes c1, c2 e c3, mostramos que A G é de fato uma combinação linear desses vetores, e também encontramos as coordenadas desse vetor na base B.
Passo 3
Agora, vamos montar o sistema de equações para encontrar os coeficientes c1, c2 e c3. Supondo que os vetores u, v e w e o vetor A G sejam conhecidos e estejam expressos nas mesmas coordenadas, podemos igualar as componentes correspondentes:
A Gx = c1 ux + c2 vx + c3 wx A Gy = c1 uy + c2 vy + c3 wy A Gz = c1 uz + c2 vz + c3 wz
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de c1, c2 e c3. Dependendo dos valores específicos dos vetores, você pode usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes para resolver o sistema.
Passo 4
Depois de encontrar os valores de c1, c2 e c3, teremos as coordenadas do vetor A G em relação à base B. Essas coordenadas são simplesmente os valores desses coeficientes, organizados em um vetor coluna:
[A G]B = c1 c2 c3
Resposta
As coordenadas do vetor A G em relação à base B = u, v, w são (c1, c2, c3), onde c1, c2 e c3 são os coeficientes encontrados ao resolver o sistema de equações.