Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto forma uma base do espaço tridimensional . Para isso, precisamos entender o que é uma base. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Vamos usar procedimentos que nos ajudem a verificar essas duas propriedades: linearidade e geração do espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Matemáticamente, precisamos resolver a equação:
Onde é o vetor zero . Se a única solução for , os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações com base nas componentes dos vetores:
Isso nos dá o sistema:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos começar subtraindo a segunda equação da primeira:
(a + b + 2c) - (a - b + c) = 0 - 0 2b + c = 0 (1)
Agora, da terceira equação, temos:
b + 3c = 0 (2)
Agora, podemos resolver o sistema formado pelas equações (1) e (2):
2b + c = 0 b + 3c = 0
Passo 5
Vamos resolver a equação (1) para c:
c = -2b
Agora, substituímos c na equação (2):
b + 3(-2b) = 0 b - 6b = 0 -5b = 0 b = 0
Substituindo b = 0 na expressão de c:
c = -2(0) = 0
Agora, voltamos à segunda equação do sistema original:
a - b + c = 0 a - 0 + 0 = 0 a = 0
Passo 6
Encontramos que a única solução é a = b = c = 0. Isso significa que os vetores u, v e w são linearmente independentes.
Passo 7
Além de serem lineares independentes, precisamos garantir que eles geram todo o espaço R^3. Em R^n, um conjunto de n vetores linearmente independentes automaticamente gera o espaço. Como temos três vetores em R^3 que são linearmente independentes, concluímos que eles geram todo o espaço.
Resposta
Portanto, o conjunto B = u, v, w é uma base de R^3, já que os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço tridimensional.