Sejam
u=(1,1,0), v=(1,-1,1), w=(2,1,3)
(a) Mostre que B=u, v, w é uma base de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto B = u, v, w forma uma base do espaço tridimensional R^3. Para isso, precisamos entender o que é uma base. Uma base de R^3 é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço R^3. Vamos usar procedimentos que nos ajudem a verificar essas duas propriedades: linearidade e geração do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores u, v e w são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Matemáticamente, precisamos resolver a equação:
au + bv + cw = 0
Onde 0 é o vetor zero (0,0,0). Se a única solução for a = b = c = 0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações com base nas componentes dos vetores:
a(1) + b(1) + c(2) = 0 a(1) + b(-1) + c(1) = 0 a(0) + b(1) + c(3) = 0
Isso nos dá o sistema:
a + b + 2c = 0 a - b + c = 0 0a + b + 3c = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos começar subtraindo a segunda equação da primeira:
(a + b + 2c) - (a - b + c) = 0 - 0 2b + c = 0 (1)
Agora, da terceira equação, temos:
b + 3c = 0 (2)
Agora, podemos resolver o sistema formado pelas equações (1) e (2):
2b + c = 0 b + 3c = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação (1) para c:
c = -2b
Agora, substituímos c na equação (2):
b + 3(-2b) = 0 b - 6b = 0 -5b = 0 b = 0
Substituindo b = 0 na expressão de c:
c = -2(0) = 0
Agora, voltamos à segunda equação do sistema original:
a - b + c = 0 a - 0 + 0 = 0 a = 0

Passo 6

Encontramos que a única solução é a = b = c = 0. Isso significa que os vetores u, v e w são linearmente independentes.

Passo 7

Além de serem lineares independentes, precisamos garantir que eles geram todo o espaço R^3. Em R^n, um conjunto de n vetores linearmente independentes automaticamente gera o espaço. Como temos três vetores em R^3 que são linearmente independentes, concluímos que eles geram todo o espaço.

Resposta

Portanto, o conjunto B = u, v, w é uma base de R^3, já que os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço tridimensional.

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