faça o que se pede:
d) (1,0 ponto) Se possível, use as matrizes P, D e P^-1 do item anterior para calcular A^k, onde k é a soma dos quatro últimos dígitos de sua matrícula (Ex: 202400abcd).
k=a+b+c+d
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos apresenta a matriz e nos pede para calcular , onde é a soma dos quatro últimos dígitos da sua matrícula. Para resolver isso, vamos usar as matrizes , e que encontramos no item anterior. O conteúdo aqui envolve matrizes e potências de matrizes, e vamos precisar entender como diagonalizar uma matriz para facilitar o cálculo de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz pode ser diagonalizada, ela pode ser escrita como , onde:
é a matriz cujas colunas são os autovetores de ,
é uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os autovalores correspondentes de ,
é a inversa de .
Passo 3
Sabendo disso, para calcular A^k = (P D P^-1)^k = P D^k P^-1 , podemos utilizar a seguinte propriedade:
Isso funciona porque, ao multiplicar a matriz diagonal por si mesma vezes, fica muito mais simples, já que os produtos fora da diagonal são zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular D^k = lambda1^k & 0 & 0 0 & lambda2^k & 0 0 & 0 & lambda3^k . Como é uma matriz diagonal, elevar à potência significa simplesmente elevar cada elemento da diagonal a :
onde são os autovalores de .
Passo 5
Por fim, substituímos na expressão para encontrar . Basta fazer a multiplicação das matrizes , e nessa ordem para obter o resultado final.
Resposta
Portanto, , onde é a matriz diagonal obtida elevando cada autovalor de à potência .