Seja uma transformação linear de em tal que e . T é injetora? T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que mapeia vetores de para . Sabemos as imagens de dois vetores específicos: e . Precisamos descobrir se é injetora (ou seja, se transforma vetores distintos em vetores distintos) e se é sobrejetora (ou seja, se todo vetor em é imagem de algum vetor em ). Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, matrizes associadas, injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Vamos representar a transformação linear como uma matriz que mapeia para . Como é linear, existe uma matriz que a representa.
Seja . Sabemos que:
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os elementos de .
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Para a(1) + b(1) = 1 Rightarrow a + b = 1 :
c(1) + d(1) = -2 Rightarrow c + d = -2
e(1) + f(1) = 0 Rightarrow e + f = 0
a(2) + b(3) = 0 Rightarrow 2a + 3b = 0
Para c(2) + d(3) = 1 Rightarrow 2c + 3d = 1 :
e(2) + f(3) = 2 Rightarrow 2e + 3f = 2
2(1 - b) + 3b = 0 Rightarrow 2 - 2b + 3b = 0 Rightarrow b = -2
2c + 2d = -4
Resolvendo o sistema para (2c + 3d) - (2c + 2d) = 1 - (-4) Rightarrow d = 5 e 2(-f) + 3f = 2 Rightarrow -2f + 3f = 2 Rightarrow f = 2 :
Da primeira equação: A = 3 & -2 -7 & 5 -2 & 2
Substituindo na segunda equação:
Então,
Resolvendo para e :
Da segunda linha:
E
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo desta com a outra equação:
Então,
Resolvendo para e :
Da terceira linha:
E
Substituindo :
Então,
Assim, a matriz é:
Passo 4
Para verificar se 3 & -2 -7 & 5 -2 & 2 x y = 0 0 0 é injetora, precisamos verificar se o núcleo (espaço nulo) de 3x - 2y = 0 contém apenas o vetor zero. Isso significa resolver -7x + 5y = 0 .
Usando a matriz -2x + 2y = 0 :
3x = 2y Rightarrow x = 23 y
Isso leva ao sistema:
-7 ( 23 y ) + 5y = 0 Rightarrow -143 y + 5y = 0 Rightarrow 13 y = 0 Rightarrow y = 0
Resolvendo a primeira equação para :
Substituindo na segunda equação:
Então,
Como a única solução é o vetor zero, o núcleo de contém apenas o zero, o que significa que é injetora.
Passo 5
Para verificar se é sobrejetora, precisamos verificar se a imagem de é todo . Isso acontece se a matriz tiver posto igual a 3.
No entanto, é uma matriz , então o máximo posto é 2, que é menor que a dimensão do contradomínio . Portanto, a imagem de é um subespaço de dimensão no máximo 2 em , e não cobre todo . Assim, não é sobrejetora.
Resposta
A transformação linear é injetora, pois seu núcleo contém apenas o vetor zero. No entanto, não é sobrejetora, já que a imagem de não abrange todo o espaço .