Passo 1

Beleza, vamos resolver esses dois limites juntos! A primeira parte envolve encontrar o limite de quando se aproxima de 0 pela direita. Já a segunda parte é sobre calcular o limite de quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como limites e comportamento de funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar . Quando se aproxima de 0 pela direita, cresce para mais infinito e tende a menos infinito. Precisamos verificar qual dessas duas funções domina o comportamento do limite.

Passo 3

Sabemos que, próximo de 0, cresce muito mais rápido para mais infinito do que tende a menos infinito. Isso significa que o termo será o que mais influencia o limite.

Passo 4

Portanto, o limite será dominado por , que tende a mais infinito.

Passo 5

Agora, vamos resolver . Aqui, estamos lidando com o comportamento da função exponencial comparada a um polinômio quando cresce sem limites. Precisamos determinar qual das funções cresce mais rápido para entender o comportamento do limite.

Passo 6

Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rapidamente do que funções polinomiais quando tende ao infinito. Isso significa que vai superar por muito à medida que aumenta.

Passo 7

Para confirmar isso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite calcular limites do tipo derivando o numerador e o denominador.

Passo 8

Aplicando a regra de L’Hôpital:

Resposta

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Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace:
Mostre que :
b)
Mostre que as seguintes séries são divergentes:
;
Resolva as seguintes integrais:
j)