Passo 1
Beleza, vamos resolver esses dois limites juntos! A primeira parte envolve encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita. Já a segunda parte é sobre calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como limites e comportamento de funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar
. Quando
se aproxima de 0 pela direita,
cresce para mais infinito e
tende a menos infinito. Precisamos verificar qual dessas duas funções domina o comportamento do limite.
Passo 3
Sabemos que, próximo de 0,
cresce muito mais rápido para mais infinito do que
tende a menos infinito. Isso significa que o termo
será o que mais influencia o limite.
Passo 4
Portanto, o limite
será dominado por
, que tende a mais infinito.
Passo 5
Agora, vamos resolver
. Aqui, estamos lidando com o comportamento da função exponencial
comparada a um polinômio
quando
cresce sem limites. Precisamos determinar qual das funções cresce mais rápido para entender o comportamento do limite.
Passo 6
Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rapidamente do que funções polinomiais quando
tende ao infinito. Isso significa que
vai superar
por muito à medida que
aumenta.
Passo 7
Para confirmar isso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite calcular limites do tipo
derivando o numerador e o denominador.
Passo 8
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace:
Mostre que :
b)
b)
Mostre que as seguintes séries são divergentes:
;
Resolva as seguintes integrais:
j)
j)