Mostre que :
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite de integração vai até o infinito. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar como . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos encontrar os valores de , e substituindo valores específicos de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a fração original como:

Passo 6

Vamos substituir essa decomposição na integral:
Isso pode ser separado em três integrais:

Passo 7

Vamos integrar cada termo:
Então, a solução geral é:

Passo 8

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 2 até . Primeiro, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Como e para grande, temos:
Então, o valor no infinito é 0.

Passo 9

Agora, calculamos o valor quando :
Sabendo que , simplifica para:

Passo 10

Finalmente, a integral definida é a diferença entre o limite no infinito e o valor em 2:
Podemos reescrever como , então:

Resposta

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;
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace: