Mostre que :
b) integral2^+infty x+2x^3-x d x=ln 4-12 ln 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite de integração vai até o infinito. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador integral2^+infty x+2x(x - 1)(x + 1) , dx . Podemos fatorar como . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração x+2x(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx - 1 + Cx + 1 em frações parciais. Vamos supor que:
x + 2 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos encontrar os valores de 0 + 2 = A(-1)(1) Rightarrow 2 = -A Rightarrow A = -2 , 1 + 2 = B(1)(2) Rightarrow 3 = 2B Rightarrow B = 32 e -1 + 2 = C(-1)(-2) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12 substituindo valores específicos de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos os valores de x+2x(x - 1)(x + 1) = -2x + 3/2x - 1 + 1/2x + 1 , e , podemos escrever a fração original como:

Passo 6

Vamos substituir essa decomposição na integral:
integral2^+infty ( -2x + 3/2x - 1 + 1/2x + 1 ) , dx
Isso pode ser separado em três integrais:
-2 integral2^+infty 1x , dx + 32 integral2^+infty 1x - 1 , dx + 12 integral2^+infty 1x + 1 , dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo:
  1. -2 ln|x| + 32 ln|x - 1| + 12 ln|x + 1| + C
Então, a solução geral é:

Passo 8

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 2 até limx to +infty ( -2 ln x + 32 ln(x - 1) + 12 ln(x + 1) ) . Primeiro, calculamos o limite quando -2 ln x + 32 ln x + 12 ln x = (-2 + 32 + 12) ln x = (-2 + 2) ln x = 0 tende ao infinito:
Como e para grande, temos:
Então, o valor no infinito é 0.

Passo 9

Agora, calculamos o valor quando -2 ln 2 + 32 ln(2 - 1) + 12 ln(2 + 1) = -2 ln 2 + 32 ln 1 + 12 ln 3 :
-2 ln 2 + 12 ln 3
Sabendo que , simplifica para:

Passo 10

Finalmente, a integral definida é a diferença entre o limite no infinito e o valor em 2:
0 - ( -2 ln 2 + 12 ln 3 ) = 2 ln 2 - 12 ln 3
Podemos reescrever ln 4 - 12 ln 3 como , então:

Resposta

integral2^+infty x+2x^3-x , dx = ln 4 - 12 ln 3

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