Mostre que :
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite de integração vai até o infinito. Para resolver, vamos precisar usar frações parciais para simplificar a expressão e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos fatorar
como
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
,
e
substituindo valores específicos de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 6
Vamos substituir essa decomposição na integral:
Isso pode ser separado em três integrais:
Passo 7
Vamos integrar cada termo:
Então, a solução geral é:
Passo 8
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 2 até
. Primeiro, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Como
e
para
grande, temos:
Então, o valor no infinito é 0.
Passo 9
Agora, calculamos o valor quando
:
Sabendo que
, simplifica para:
Passo 10
Finalmente, a integral definida é a diferença entre o limite no infinito e o valor em 2:
Podemos reescrever
como
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace: