Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace:
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos resolver um problema de valor inicial (PVI) utilizando a transformada de Laplace. A equação diferencial dada é:
com as condições iniciais
e
.
Para resolver esse PVI, vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace para equações diferenciais, especialmente lidando com a função delta de Dirac
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso, temos:
Passo 3
Substituímos os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 4
Agrupamos os termos com
e os termos constantes:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Isolamos
:
Então:
Passo 6
Simplificamos as frações:
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos decompor em frações parciais cada termo para facilitar a aplicação da transformada inversa.
Para o primeiro termo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 8
Repetimos o processo para o segundo termo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para
:
Para
:
Para
:
Substituindo
e
:
Então:
Passo 9
O terceiro termo já está na forma de frações parciais:
Passo 10
Agora, juntamos todos os termos:
Simplificando:
Passo 11
Aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo:
Onde
é a função degrau unitário (função de Heaviside).
Passo 12
Juntando todos os termos, a solução
é:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Mostre que :
b)
b)
Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Mostre que as seguintes séries são divergentes:
;