Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace:

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos resolver um problema de valor inicial (PVI) utilizando a transformada de Laplace. A equação diferencial dada é:
com as condições iniciais e .
Para resolver esse PVI, vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace para equações diferenciais, especialmente lidando com a função delta de Dirac .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso, temos:

Passo 3

Substituímos os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 4

Agrupamos os termos com e os termos constantes:
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Isolamos :
Então:

Passo 6

Simplificamos as frações:
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos decompor em frações parciais cada termo para facilitar a aplicação da transformada inversa.
Para o primeiro termo:
Multiplicando ambos os lados por :
Para :
Para :
Então:

Passo 8

Repetimos o processo para o segundo termo:
Multiplicando ambos os lados por :
Para :
Para :
Para :
Substituindo e :
Então:

Passo 9

O terceiro termo já está na forma de frações parciais:

Passo 10

Agora, juntamos todos os termos:
Simplificando:

Passo 11

Aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo:
Onde é a função degrau unitário (função de Heaviside).

Passo 12

Juntando todos os termos, a solução é:

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Mostre que :
b)
Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Mostre que as seguintes séries são divergentes:
;