Mostre que as seguintes séries são divergentes:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a série
é divergente. Pra isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e sobre o comportamento das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o termo geral da série, que é
. Vamos calcular alguns valores pra ver o padrão:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
E assim por diante. A sequência dos termos é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece com os termos conforme
aumenta. Observamos que os termos não estão se aproximando de zero; na verdade, eles estão alternando entre
,
e
.
Passo 4
Aqui entra uma regra importante das séries infinitas: Para que uma série
converja, é necessário que o limite dos termos
seja zero, ou seja,
. Se esse limite não for zero, a série não converge.
Resposta
Como os termos da série
não tendem a zero e, na verdade, continuam alternando entre
,
e
, concluímos que a série
é divergente.
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j)
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t)
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