Mostre que as seguintes séries são divergentes:
sumn=0^infty sin (n pi2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a série sumn=0^infty sin(n pi2) é divergente. Pra isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e sobre o comportamento das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o termo geral da série, que é sin(n pi2). Vamos calcular alguns valores pra ver o padrão:
  • Para n = 0: sin(0 cdot pi2) = sin(0) = 0
  • Para n = 1: sin(1 cdot pi2) = sin(pi2) = 1
  • Para n = 2: sin(2 cdot pi2) = sin(pi) = 0
  • Para n = 3: sin(3 cdot pi2) = sin(3pi2) = -1
  • Para n = 4: sin(4 cdot pi2) = sin(2pi) = 0
E assim por diante. A sequência dos termos é: 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, dots

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com os termos conforme n aumenta. Observamos que os termos não estão se aproximando de zero; na verdade, eles estão alternando entre 1, -1 e 0.

Passo 4

Aqui entra uma regra importante das séries infinitas: Para que uma série sum an converja, é necessário que o limite dos termos an seja zero, ou seja, limn to infty an = 0. Se esse limite não for zero, a série não converge.

Resposta

Como os termos da série sin(n pi2) não tendem a zero e, na verdade, continuam alternando entre 1, -1 e 0, concluímos que a série sumn=0^infty sin(n pi2) é divergente.

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