Mostre que as seguintes séries são divergentes:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a série é divergente. Pra isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e sobre o comportamento das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o termo geral da série, que é . Vamos calcular alguns valores pra ver o padrão:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. A sequência dos termos é:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com os termos conforme aumenta. Observamos que os termos não estão se aproximando de zero; na verdade, eles estão alternando entre , e .

Passo 4

Aqui entra uma regra importante das séries infinitas: Para que uma série converja, é necessário que o limite dos termos seja zero, ou seja, . Se esse limite não for zero, a série não converge.

Resposta

Como os termos da série não tendem a zero e, na verdade, continuam alternando entre , e , concluímos que a série é divergente.

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j)
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t)