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Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos precisar utilizar propriedades de limites, logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite para facilitar o cálculo. Observamos que
pode ser reescrito dividindo o numerador e o denominador por
:
Passo 3
Agora, temos o limite:
Para resolver esse tipo de limite, é útil transformar a expressão exponencial usando o logaritmo natural. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos focar em calcular o limite do expoente:
Para simplificar o logaritmo, usamos a propriedade
:
Passo 5
Vamos expandir os logaritmos usando a série de Taylor para
quando
é pequeno. Como
,
tende a 0:
Passo 6
Substituindo essas aproximações na expressão do expoente:
Passo 7
Então, o expoente fica:
Passo 8
Voltando à expressão original com a base
:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
(h)
Considere a função
: Encontre o domínio da função;
(j)
Se as funções
e
formarem um conjunto fundamental de soluções de
, mostre que entre dois zeros consecutivos de
existe um, e apenas um, zero de
. Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções
e
da equação
. Sugestão: Suponha que
e
são dois zeros de
entre os quais não existe zero de
. Aplique o teorema de Rolle a
para chegar a uma contradição.