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Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos precisar utilizar propriedades de limites, logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite para facilitar o cálculo. Observamos que pode ser reescrito dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 3

Agora, temos o limite:
Para resolver esse tipo de limite, é útil transformar a expressão exponencial usando o logaritmo natural. Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos focar em calcular o limite do expoente:
Para simplificar o logaritmo, usamos a propriedade :

Passo 5

Vamos expandir os logaritmos usando a série de Taylor para quando é pequeno. Como , tende a 0:

Passo 6

Substituindo essas aproximações na expressão do expoente:

Passo 7

Então, o expoente fica:

Passo 8

Voltando à expressão original com a base :

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

(h)
Considere a função : Encontre o domínio da função;
(j)
Se as funções e formarem um conjunto fundamental de soluções de , mostre que entre dois zeros consecutivos de existe um, e apenas um, zero de . Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções e da equação . Sugestão: Suponha que e são dois zeros de entre os quais não existe zero de . Aplique o teorema de Rolle a para chegar a uma contradição.