© lim x +infty(x+1x-1)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos precisar utilizar propriedades de limites, logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite para facilitar o cálculo. Observamos que x+1x-1 = x(1 + 1x)x(1 - 1x) = 1 + 1x1 - 1x pode ser reescrito dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 3

Agora, temos o limite:
limx +infty ( 1 + 1x1 - 1x )^x
Para resolver esse tipo de limite, é útil transformar a expressão exponencial usando o logaritmo natural. Sabemos que ( 1 + 1x1 - 1x )^x = e^x cdot ln( 1 + 1x1 - 1x ) , então:

Passo 4

Agora, vamos focar em calcular o limite do expoente:
limx +infty x cdot ln( 1 + 1x1 - 1x )
Para simplificar o logaritmo, usamos a propriedade ln( 1 + 1x1 - 1x ) = ln(1 + 1x) - ln(1 - 1x) :

Passo 5

Vamos expandir os logaritmos usando a série de Taylor para ln(1 + 1x) approx 1x - 12x^2 quando ln(1 - 1x) approx -1x - 12x^2 é pequeno. Como , tende a 0:

Passo 6

Substituindo essas aproximações na expressão do expoente:
ln( 1 + 1x1 - 1x ) approx ( 1x - 12x^2 ) - ( -1x - 12x^2 ) = 2x

Passo 7

Então, o expoente fica:
x cdot ln( 1 + 1x1 - 1x ) approx x cdot 2x = 2

Passo 8

Voltando à expressão original com a base limx +infty e^x cdot ln( 1 + 1x1 - 1x ) = e^2 :

Resposta

O limite é igual a .

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