Se as funções
e
formarem um conjunto fundamental de soluções de
, mostre que entre dois zeros consecutivos de
existe um, e apenas um, zero de
. Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções
e
da equação
. Sugestão: Suponha que
e
são dois zeros de
entre os quais não existe zero de
. Aplique o teorema de Rolle a
para chegar a uma contradição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é o seguinte: temos duas funções,
e
, que juntas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial
. Nosso objetivo é mostrar que, entre dois zeros consecutivos de
, existe exatamente um zero de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de equações diferenciais, como soluções fundamentais e o teorema de Rolle. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter um conjunto fundamental de soluções. Em equações diferenciais lineares de segunda ordem, como a que temos aqui, um conjunto fundamental de soluções é formado por duas soluções lineares e independentes
e
. Isso significa que qualquer solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas soluções:
onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, a questão quer que mostremos que entre dois zeros consecutivos de
, há exatamente um zero de
. Vamos pensar no que isso significa: se
cruza o eixo zero em dois pontos, digamos
e
, então devemos provar que
cruza o eixo zero exatamente uma vez entre
e
.
Passo 4
A dica da questão sugere usarmos o teorema de Rolle aplicado à função
. Vamos supor, para chegar a uma contradição, que entre
e
não existe nenhum zero de
. Ou seja,
não cruza o eixo zero nesse intervalo.
Passo 5
Se
não tem zeros entre
e
, isso significa que
não muda de sinal nesse intervalo. Portanto,
é uma função contínua e diferenciável nesse intervalo, já que
nunca é zero ali.
Passo 6
Segundo o teorema de Rolle, se uma função
é contínua no intervalo fechado
, diferenciável no intervalo aberto
, e se
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
.
Passo 7
Aplicando o teorema de Rolle à função
no intervalo
:
-
(já que ), -
(já que ).
Portanto, as condições do teorema de Rolle são atendidas, e existe um ponto
em
onde:
Passo 8
Vamos calcular a derivada de
:
Igualando a zero:
Passo 9
Isso implica que
no ponto
. Mas como
não é zero (já que os zeros são apenas em
e
), podemos rearranjar a equação:
Isso sugere que existe uma constante tal que
, o que levaria a que
e
são múltiplos um do outro.
Passo 10
No entanto,
e
formam um conjunto fundamental de soluções, ou seja, são soluções linearmente independentes. Isso significa que uma não pode ser múltipla da outra, a menos que uma seja a solução trivial (o que não é o caso aqui). Portanto, chegamos a uma contradição.
Passo 11
Nossa suposição inicial de que não existe um zero de
entre
e
leva a uma contradição. Portanto, deve haver pelo menos um zero de
entre dois zeros consecutivos de
.
Além disso, se houvesse mais de um zero de
entre
e
, aplicaríamos o mesmo argumento e obteríamos múltiplas contradições, o que não é possível. Portanto, existe apenas um zero de
entre dois zeros consecutivos de
.
Resposta
Entre dois zeros consecutivos de
, existe exatamente um zero de
.
Exercícios relacionados
(j)
©
(l)
Inverter a ordem de integração.
b)
b)