Se as funções y1 e y2 formarem um conjunto fundamental de soluções de y'' + p(t) y' + q(t) y = 0, mostre que entre dois zeros consecutivos de y1 existe um, e apenas um, zero de y2. Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções y1 = cos(t) e y2 = sen(t) da equação y'' + y = 0. Sugestão: Suponha que t1 e t2 são dois zeros de y1 entre os quais não existe zero de y2. Aplique o teorema de Rolle a y1 / y2 para chegar a uma contradição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é o seguinte: temos duas funções, e , que juntas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial . Nosso objetivo é mostrar que, entre dois zeros consecutivos de , existe exatamente um zero de .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de equações diferenciais, como soluções fundamentais e o teorema de Rolle. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter um conjunto fundamental de soluções. Em equações diferenciais lineares de segunda ordem, como a que temos aqui, um conjunto fundamental de soluções é formado por duas soluções lineares e independentes e . Isso significa que qualquer solução geral da equação pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas soluções:
onde e são constantes.

Passo 3

Agora, a questão quer que mostremos que entre dois zeros consecutivos de , há exatamente um zero de . Vamos pensar no que isso significa: se cruza o eixo zero em dois pontos, digamos e , então devemos provar que cruza o eixo zero exatamente uma vez entre e .

Passo 4

A dica da questão sugere usarmos o teorema de Rolle aplicado à função . Vamos supor, para chegar a uma contradição, que entre e não existe nenhum zero de . Ou seja, não cruza o eixo zero nesse intervalo.

Passo 5

Se não tem zeros entre e , isso significa que não muda de sinal nesse intervalo. Portanto, é uma função contínua e diferenciável nesse intervalo, já que nunca é zero ali.

Passo 6

Segundo o teorema de Rolle, se uma função é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto , e se , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada .

Passo 7

Aplicando o teorema de Rolle à função no intervalo :
  • (já que ),
  • (já que ).
Portanto, as condições do teorema de Rolle são atendidas, e existe um ponto em onde:

Passo 8

Vamos calcular a derivada de :
Igualando a zero:

Passo 9

Isso implica que no ponto . Mas como não é zero (já que os zeros são apenas em e ), podemos rearranjar a equação:
Isso sugere que existe uma constante tal que , o que levaria a que e são múltiplos um do outro.

Passo 10

No entanto, e formam um conjunto fundamental de soluções, ou seja, são soluções linearmente independentes. Isso significa que uma não pode ser múltipla da outra, a menos que uma seja a solução trivial (o que não é o caso aqui). Portanto, chegamos a uma contradição.

Passo 11

Nossa suposição inicial de que não existe um zero de entre e leva a uma contradição. Portanto, deve haver pelo menos um zero de entre dois zeros consecutivos de .
Além disso, se houvesse mais de um zero de entre e , aplicaríamos o mesmo argumento e obteríamos múltiplas contradições, o que não é possível. Portanto, existe apenas um zero de entre dois zeros consecutivos de .

Resposta

Entre dois zeros consecutivos de , existe exatamente um zero de .

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