(j)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: calcular o limite
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e as expansões em série de Taylor das funções seno e tangente. Vamos precisar conhecer essas séries para aproximar as funções perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as funções
e
se comportam perto de
usando as expansões em série de Taylor:
Essas expansões nos ajudam a aproximar as funções quando
é próximo de zero.
Passo 3
Agora, substituímos essas expansões na expressão original do limite:
Simplificando, temos:
Passo 4
Para
muito pequeno, os termos de ordem superior (
) se tornam insignificantes. Então, podemos aproximar a expressão por:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
©
(h)
Se as funções
e
formarem um conjunto fundamental de soluções de
, mostre que entre dois zeros consecutivos de
existe um, e apenas um, zero de
. Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções
e
da equação
. Sugestão: Suponha que
e
são dois zeros de
entre os quais não existe zero de
. Aplique o teorema de Rolle a
para chegar a uma contradição.
(l)