(j) lim x 0 sen x-xtan x-x

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: calcular o limite . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e as expansões em série de Taylor das funções seno e tangente. Vamos precisar conhecer essas séries para aproximar as funções perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as funções sin x = x - x^36 + dots e tan x = x + x^33 + dots se comportam perto de usando as expansões em série de Taylor:
Essas expansões nos ajudam a aproximar as funções quando é próximo de zero.

Passo 3

Agora, substituímos essas expansões na expressão original do limite:
sin x - xtan x - x = (x - x^36 + dots) - x(x + x^33 + dots) - x
Simplificando, temos:
-x^36 + dotsx^33 + dots

Passo 4

Para -x^36x^33 = -1/61/3 = -12 muito pequeno, os termos de ordem superior ( ) se tornam insignificantes. Então, podemos aproximar a expressão por:

Resposta

O limite é igual a .

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