(j)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: calcular o limite . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e as expansões em série de Taylor das funções seno e tangente. Vamos precisar conhecer essas séries para aproximar as funções perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as funções e se comportam perto de usando as expansões em série de Taylor:
Essas expansões nos ajudam a aproximar as funções quando é próximo de zero.

Passo 3

Agora, substituímos essas expansões na expressão original do limite:
Simplificando, temos:

Passo 4

Para muito pequeno, os termos de ordem superior ( ) se tornam insignificantes. Então, podemos aproximar a expressão por:

Resposta

O limite é igual a .

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(h)
Se as funções e formarem um conjunto fundamental de soluções de , mostre que entre dois zeros consecutivos de existe um, e apenas um, zero de . Note que esse comportamento é ilustrado pelas soluções e da equação . Sugestão: Suponha que e são dois zeros de entre os quais não existe zero de . Aplique o teorema de Rolle a para chegar a uma contradição.
(l)