© lim x 0^- x sen(x)1-cos (x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções trigonométricas. Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar utilizar as séries de Taylor para as funções seno e cosseno, ou então aplicar a regra de L’Hôpital quando apropriado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o limite está nos pedindo. Estamos interessados no comportamento da função quando se aproxima de 0 pelo lado negativo ( ). Isso significa que está se aproximando de 0 a partir de valores negativos.

Passo 3

Vamos começar analisando o numerador e o denominador separadamente. O numerador é e o denominador é .

Passo 4

Conhecemos as seguintes aproximações para as funções seno e cosseno perto de 0:
sen(x) approx x - x^36
Essas são as séries de Taylor de seno e cosseno expandidas até o termo de ordem cos(x) approx 1 - x^22 + x^424 e , respectivamente.

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão original:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
x^2 (1 - x^26)x^2 (12 - x^224) = 1 - x^2612 - x^224

Passo 7

Ao calcular o limite quando lim x 0^- 1 - x^2612 - x^224 = 1 - 012 - 0 = 112 = 2 tende a 0, os termos que contêm vão se tornar insignificantes:

Resposta

O limite é igual a 2.

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