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Passo 1
Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções trigonométricas. Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar utilizar as séries de Taylor para as funções seno e cosseno, ou então aplicar a regra de L’Hôpital quando apropriado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o limite está nos pedindo. Estamos interessados no comportamento da função quando
se aproxima de 0 pelo lado negativo (
). Isso significa que
está se aproximando de 0 a partir de valores negativos.
Passo 3
Vamos começar analisando o numerador e o denominador separadamente. O numerador é e o denominador é
.
Passo 4
Conhecemos as seguintes aproximações para as funções seno e cosseno perto de 0:
Essas são as séries de Taylor de seno e cosseno expandidas até o termo de ordem
e
, respectivamente.
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão original:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 7
Ao calcular o limite quando
tende a 0, os termos que contêm
vão se tornar insignificantes:
Resposta
O limite é igual a 2.