Dadas f(x) = { x^2 + 3 se x <= 1, x + 1 se x > 1 } e g(x) = { x^2 se x <= 1, 2 se x > 1 } resolva os itens abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções definidas por partes, ou seja, dependendo do valor de , a função age de uma forma ou de outra. As funções são:
Vamos precisar entender como essas funções se comportam em diferentes intervalos de para resolver os itens pedidos. A matéria que estamos lidando aqui é funções definidas por partes, que é um tópico importante em cálculo e álgebra.

Passo 2

Vamos supor que o primeiro item seja calcular a composição das funções . Isso significa que primeiro aplicamos e depois usamos o resultado como entrada para .
Primeiro, precisamos encontrar :
Agora, vamos aplicar em :
Se , então . Agora, substituímos isso em :
Simplificando:
  • ocorre quando .
  • ocorre quando ou .
Então, a função composta fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a composição inversa, ou seja, .
Primeiro, consideramos :
Aplicamos em :
  • Se , usamos a primeira parte de .
  • Se , usamos a segunda parte de .
Vamos analisar cada caso:
  1. Quando :
    Como , então . Portanto, sempre , então:
  2. Quando :
    Como , então . Portanto, também , então:
Portanto, independentemente do valor de , .

Passo 4

Vamos resolver um terceiro item que poderia ser solicitado: encontrar os valores de onde .
Temos:
Vamos resolver os casos:
  1. Para :
    Igualando:
    Isso não tem solução, ou seja, não há valores de onde .
  2. Para :
    Igualando:
    Mas não pertence a , então também não há solução nesse caso.
Portanto, não existem valores de que satisfazem .

Resposta

Concluímos que:
  1. A composição é dada por:
  1. A composição é constante e igual a 2 para todo .
  2. Não existem valores de que tornam .

Exercícios relacionados