Dadas
e
resolva os itens abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções definidas por partes, ou seja, dependendo do valor de
, a função age de uma forma ou de outra. As funções são:
Vamos precisar entender como essas funções se comportam em diferentes intervalos de
para resolver os itens pedidos. A matéria que estamos lidando aqui é funções definidas por partes, que é um tópico importante em cálculo e álgebra.
Passo 2
Vamos supor que o primeiro item seja calcular a composição das funções
. Isso significa que primeiro aplicamos
e depois usamos o resultado como entrada para
.
Primeiro, precisamos encontrar
:
Agora, vamos aplicar
em
:
Se
, então
. Agora, substituímos isso em
:
Simplificando:
-
ocorre quando . -
ocorre quando ou .
Então, a função composta fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a composição inversa, ou seja,
.
Primeiro, consideramos
:
Aplicamos
em
:
- Se
, usamos a primeira parte de . - Se
, usamos a segunda parte de .
Vamos analisar cada caso:
-
Quando
: Como, então . Portanto, sempre , então: -
Quando
: Como, então . Portanto, também , então:
Portanto, independentemente do valor de
,
.
Passo 4
Vamos resolver um terceiro item que poderia ser solicitado: encontrar os valores de
onde
.
Temos:
Vamos resolver os casos:
-
Para
: Igualando:Isso não tem solução, ou seja, não há valores deonde . -
Para
: Igualando:Masnão pertence a , então também não há solução nesse caso.
Portanto, não existem valores de
que satisfazem
.
Resposta
Concluímos que:
- A composição
é dada por:
-
A composição
é constante e igual a 2 para todo . -
Não existem valores de
que tornam .