é diferenciável em
? Justifique
Passo 1
Vamos analisar se a função
é diferenciável no ponto
. O enunciado nos dá a função:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como limite, continuidade e derivadas parciais. Precisaremos verificar se os limites das derivadas parciais existem e se a função é contínua em
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. A função é contínua nesse ponto se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
.
Calculemos o limite:
Podemos usar coordenadas polares, onde
e
:
À medida que
, todo o termo tende a 0, independentemente de
. Portanto, o limite é 0, igual a
, e a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em
. As derivadas parciais existem se os limites das diferenças de
na direção de
e de
existirem.
Derivada parcial em relação a
:
Como
, temos:
Então:
Derivada parcial em relação a
:
Como
, temos:
Então:
Passo 4
Para a função ser diferenciável em
, além de ser contínua e ter derivadas parciais existentes, devemos verificar se a aproximação linear da função se ajusta bem próximo a
. Isso significa que:
Substituindo os valores encontrados:
Usando coordenadas polares novamente:
O limite depende de
. Por exemplo, se
, o limite é 0, mas para
, o limite é
. Como o limite não é o mesmo para todos os caminhos, ele não existe.
Resposta
A função
não é diferenciável em
porque o limite necessário para a diferenciabilidade não existe.