f é diferenciável em (0,0) ? Justifique f(x, y) = { (x^2 * y) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Vamos analisar se a função é diferenciável no ponto . O enunciado nos dá a função:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como limite, continuidade e derivadas parciais. Precisaremos verificar se os limites das derivadas parciais existem e se a função é contínua em .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . A função é contínua nesse ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a .
Calculemos o limite:
Podemos usar coordenadas polares, onde e :
À medida que , todo o termo tende a 0, independentemente de . Portanto, o limite é 0, igual a , e a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em . As derivadas parciais existem se os limites das diferenças de na direção de e de existirem.
Derivada parcial em relação a :
Como , temos:
Então:
Derivada parcial em relação a :
Como , temos:
Então:

Passo 4

Para a função ser diferenciável em , além de ser contínua e ter derivadas parciais existentes, devemos verificar se a aproximação linear da função se ajusta bem próximo a . Isso significa que:
Substituindo os valores encontrados:
Usando coordenadas polares novamente:
O limite depende de . Por exemplo, se , o limite é 0, mas para , o limite é . Como o limite não é o mesmo para todos os caminhos, ele não existe.

Resposta

A função não é diferenciável em porque o limite necessário para a diferenciabilidade não existe.

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