© log(x^2 - 1) - log(x + 1) = 1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação logarítmica log(x^2 - 1) - log(x + 1) = 1. Nosso objetivo é encontrar o valor de x que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos e resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo da divisão dos argumentos. Ou seja, . Aplicando isso à nossa equação, temos:

Passo 3

Agora, sabemos que se , então (considerando logaritmo na base 10). Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 4

Vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados da equação por :

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:

Passo 6

Para resolver a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções possíveis:

Passo 7

Precisamos verificar se essas soluções são válidas dentro do contexto da equação original, ou seja, se os argumentos dos logaritmos são positivos.
Para :
Ambos são positivos, então é válido.
Para :
  • (inválido, já que o logaritmo de zero não existe)
  • (inválido, pois o logaritmo de números não positivos não está definido)
Portanto, não é uma solução válida.

Resposta

A solução da equação é .

Exercícios relacionados