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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação logarítmica
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos e resolver uma equação quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo da divisão dos argumentos. Ou seja,
. Aplicando isso à nossa equação, temos:
Passo 3
Agora, sabemos que se
, então
(considerando logaritmo na base 10). Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 4
Vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Passo 6
Para resolver a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções possíveis:
Passo 7
Precisamos verificar se essas soluções são válidas dentro do contexto da equação original, ou seja, se os argumentos dos logaritmos são positivos.
Para
:
Ambos são positivos, então
é válido.
Para
:
-
(inválido, já que o logaritmo de zero não existe) -
(inválido, pois o logaritmo de números não positivos não está definido)
Portanto,
não é uma solução válida.
Resposta
A solução da equação é
.