Determine a função que expressa o volume do cone em função de sua geratriz x e do raio da base y.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é achar uma função que dê o volume de um cone em termos da sua geratriz x e do raio da base y. Vamos usar algumas fórmulas de geometria e entender como a geratriz, o raio e a altura do cone estão relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cone é calculado pela fórmula:
Aqui, r é o raio da base e h é a altura do cone. Nosso objetivo é expressar V em termos de x (geratriz) e y (raio).

Passo 3

Mas como relacionamos a geratriz x com a altura h e o raio y? No cone, a geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo. Assim, podemos usar o Teorema de Pitágoras:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para h:
Isso nos dá a altura do cone em termos da geratriz x e do raio y.

Passo 5

Por fim, substituímos a expressão de h na fórmula do volume:

Resposta

A função que expressa o volume do cone em função da geratriz x e do raio da base y é:

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