Determine a função que expressa o volume do cone em função de sua geratriz
e do raio da base
.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é achar uma função que dê o volume de um cone em termos da sua geratriz
e do raio da base
. Vamos usar algumas fórmulas de geometria e entender como a geratriz, o raio e a altura do cone estão relacionados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cone é calculado pela fórmula:
Aqui,
é o raio da base e
é a altura do cone. Nosso objetivo é expressar
em termos de
(geratriz) e
(raio).
Passo 3
Mas como relacionamos a geratriz
com a altura
e o raio
? No cone, a geratriz, a altura e o raio formam um triângulo retângulo. Assim, podemos usar o Teorema de Pitágoras:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Isso nos dá a altura do cone em termos da geratriz
e do raio
.
Passo 5
Por fim, substituímos a expressão de
na fórmula do volume:
Resposta
A função que expressa o volume do cone em função da geratriz
e do raio da base
é: