© Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a Transformada de Laplace de
é igual a
para
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso,
. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a relação com a função gama (
). A função gama é uma generalização do fatorial e é definida por:
Comparando com a nossa integral, podemos fazer uma substituição para ajustar a forma.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Então,
e
. Substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Passo 5
Sabemos que
. Então, substituindo:
Isso é o mesmo que:
Resposta
Portanto, mostramos que
para
.