© Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a Transformada de Laplace de é igual a para . A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso, . Então, precisamos calcular:

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a relação com a função gama ( ). A função gama é uma generalização do fatorial e é definida por:
Comparando com a nossa integral, podemos fazer uma substituição para ajustar a forma.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Então, e . Substituindo na integral:
Simplificando os termos:

Passo 5

Sabemos que . Então, substituindo:
Isso é o mesmo que:

Resposta

Portanto, mostramos que para .

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Calcule pela definição o fluxo do campo , sobre a fronteira do setor do círculo de raio contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, na direção do vetor normal unitário exterior.
Obtenha uma parametrização para as superfícies dadas.
a) .
b) .
c) é a rotação em torno do eixo do conjunto .
d) é a rotação em torno do eixo do conjunto e .
a) Mostre que a fórmula é válida para .
b) Mostre que é válida, então também o é.
a)
b) .
c) Usando a função gama mostre que