© Mostre que L(t^(-1/2)) = raiz(pi/s) s>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a Transformada de Laplace de é igual a para . A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso, . Então, precisamos calcular:

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a relação com a função gama ( ). A função gama é uma generalização do fatorial e é definida por:
Comparando com a nossa integral, podemos fazer uma substituição para ajustar a forma.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Então, e . Substituindo na integral:
Simplificando os termos:

Passo 5

Sabemos que . Então, substituindo:
Isso é o mesmo que:

Resposta

Portanto, mostramos que para .

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