a) Mostre que a fórmula é válida para n = 0.
b) Mostre que L{t^{n-1}} = (n-1)! / s^{n} é válida, então L{t^n} = n!/s^(n+1) também o é.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes:
a) Mostrar que a fórmula é válida para .
b) Mostrar que se é válida, então também é válida.
O conteúdo aqui envolve a Transformada de Laplace e propriedades de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e entender como ela se aplica a funções do tipo .

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Mostrar que a fórmula é válida para .
A fórmula que precisamos verificar é:
Substituindo :
Aqui, temos um problema porque o fatorial de ( ) não está definido. O fatorial é definido apenas para números inteiros não negativos. Além disso, , mas o problema principal é o fatorial de um número negativo.
Portanto, a fórmula não é válida para porque ela envolve o fatorial de um número negativo, o que não é definido matematicamente.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Mostrar que se é válida, então também é válida.
Sabemos que a Transformada de Laplace para é dada por:
Se considerarmos , então:
A hipótese da questão é que é válida. Aplicando a mesma lógica, ao substituir por , obtemos:
Assim, se a fórmula original é válida para , então também é válida para .

Resposta

a) A fórmula não é válida para porque o fatorial de um número negativo não está definido.
b) Se é válida, então também é válida.

Exercícios relacionados