a) Mostre que a fórmula é válida para
.
b) Mostre que
é válida, então
também o é.
b) Mostre que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes:
a) Mostrar que a fórmula é válida para
.
b) Mostrar que se
é válida, então
também é válida.
O conteúdo aqui envolve a Transformada de Laplace e propriedades de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e entender como ela se aplica a funções do tipo
.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Mostrar que a fórmula é válida para
.
A fórmula que precisamos verificar é:
Substituindo
:
Aqui, temos um problema porque o fatorial de
(
) não está definido. O fatorial é definido apenas para números inteiros não negativos. Além disso,
, mas o problema principal é o fatorial de um número negativo.
Portanto, a fórmula não é válida para
porque ela envolve o fatorial de um número negativo, o que não é definido matematicamente.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Mostrar que se
é válida, então
também é válida.
Sabemos que a Transformada de Laplace para
é dada por:
Se considerarmos
, então:
A hipótese da questão é que
é válida. Aplicando a mesma lógica, ao substituir
por
, obtemos:
Assim, se a fórmula original é válida para
, então também é válida para
.
Resposta
a) A fórmula não é válida para
porque o fatorial de um número negativo não está definido.
b) Se
é válida, então
também é válida.
Exercícios relacionados
© Mostre que
.
Calcule pela definição o fluxo do campo
, sobre a fronteira do setor do círculo de raio
contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, na direção do vetor normal unitário exterior.
a)
b) .
c) Usando a função gama mostre que
b)
c) Usando a função gama mostre que
Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela intersecção do cilindro
com o plano
. Esboce o traço da curva.