Calcule pela definição o fluxo do campo F(x, y) = y^2 i, sobre a fronteira do setor do círculo de raio r contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, na direção do vetor normal unitário exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y) = y^2 i sobre a fronteira de um setor de círculo de raio r, que está no primeiro quadrante do plano cartesiano. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a fronteira do setor e aplicar a definição de fluxo com o vetor normal unitário externo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial F através de uma curva fechada C é dado por:
Aqui, n é o vetor normal unitário externo à curva C, e é um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos identificar a curva C. O setor de círculo no primeiro quadrante é delimitado por três partes:
  1. O arco do círculo de raio r no primeiro quadrante.
  2. A reta do eixo x de (0,0) a .
  3. A reta do eixo y de (0,0) a .
Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas partes e depois somar tudo.

Passo 4

Vamos começar com o arco do círculo. Para parametrizar o arco no primeiro quadrante, usamos:
onde theta varia de 0 a pi / 2.
O vetor tangente ao arco é dado pela derivada em relação a theta:
O vetor normal externo n é perpendicular ao vetor tangente. Para obter o vetor normal externo, rotacionamos o vetor tangente 90 graus no sentido anti-horário:

Passo 5

Agora, calculamos para o arco:
O elemento de comprimento no arco é , então o fluxo no arco é:

Passo 6

Resolvendo a integral:
Vamos fazer a substituição , então . A integral vira:
Aplicando os limites de 0 a pi / 2:
Então, o fluxo no arco é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o fluxo nas retas dos eixos x e y.
Primeiro, na reta do eixo x, de (0,0) a :
Aqui, y = 0, então . O vetor normal externo é voltado para fora do setor, ou seja, para baixo, na direção de . Assim:
Portanto, o fluxo nessa parte é zero.

Passo 8

Agora, na reta do eixo y, de (0,0) a :
Aqui, x = 0, então . O vetor normal externo é voltado para fora do setor, ou seja, para a esquerda, na direção de . Assim:
O elemento de comprimento ao longo do eixo y é , então o fluxo nessa parte é:

Passo 9

Finalmente, vamos somar os fluxos das três partes:

Resposta

O fluxo total do campo F(x, y) = y^2 i sobre a fronteira do setor é 0.

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