Calcule pela definição o fluxo do campo , sobre a fronteira do setor do círculo de raio contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, na direção do vetor normal unitário exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial sobre a fronteira de um setor de círculo de raio , que está no primeiro quadrante do plano cartesiano. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a fronteira do setor e aplicar a definição de fluxo com o vetor normal unitário externo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada é dado por:
Aqui, é o vetor normal unitário externo à curva , e é um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos identificar a curva . O setor de círculo no primeiro quadrante é delimitado por três partes:
O arco do círculo de raio no primeiro quadrante.
A reta do eixo de a .
A reta do eixo de a .
Vamos calcular o fluxo em cada uma dessas partes e depois somar tudo.
Passo 4
Vamos começar com o arco do círculo. Para parametrizar o arco no primeiro quadrante, usamos:
onde varia de a .
O vetor tangente ao arco é dado pela derivada em relação a :
O vetor normal externo é perpendicular ao vetor tangente. Para obter o vetor normal externo, rotacionamos o vetor tangente 90 graus no sentido anti-horário:
Passo 5
Agora, calculamos para o arco:
O elemento de comprimento no arco é , então o fluxo no arco é:
Passo 6
Resolvendo a integral:
Vamos fazer a substituição , então . A integral vira:
Aplicando os limites de a :
Então, o fluxo no arco é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o fluxo nas retas dos eixos e .
Primeiro, na reta do eixo , de a :
Aqui, , então . O vetor normal externo é voltado para fora do setor, ou seja, para baixo, na direção de . Assim:
Portanto, o fluxo nessa parte é zero.
Passo 8
Agora, na reta do eixo , de a :
Aqui, , então . O vetor normal externo é voltado para fora do setor, ou seja, para a esquerda, na direção de . Assim:
O elemento de comprimento ao longo do eixo é , então o fluxo nessa parte é:
Passo 9
Finalmente, vamos somar os fluxos das três partes:
Resposta
O fluxo total do campo sobre a fronteira do setor é .