Obtenha uma parametrização para as superfícies dadas.
a) .
b) .
c) é a rotação em torno do eixo do conjunto .
d) é a rotação em torno do eixo do conjunto e .

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado pede para obter uma parametrização da superfície . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com cilindros elípticos. Para parametrizar essa superfície, precisamos expressar , e em termos de um ou mais parâmetros.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação representa uma elipse no plano e essa equação não envolve , o que indica que a superfície é um cilindro elíptico paralelo ao eixo . Isso significa que para cada ponto na elipse, podemos ter qualquer valor de .

Passo 3

Para parametrizar a elipse , podemos usar um parâmetro angular , onde:
Essas parametrizações garantem que , o que satisfaz a equação da elipse.

Passo 4

Como pode assumir qualquer valor real, ele será representado por outro parâmetro, digamos . Assim, a parametrização completa da superfície é dada por:
onde varia de a e é qualquer número real.

Passo 5

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. O enunciado pede para obter uma parametrização da superfície . Essa equação representa um plano no espaço tridimensional. Para parametrizar um plano, podemos expressar duas das variáveis em termos de parâmetros.

Passo 6

Escolhemos dois parâmetros, por exemplo, e , e decidimos quais variáveis expressar em termos deles. Vamos resolver a equação para :
Assim, podemos deixar e como parâmetros e .

Passo 7

Definimos:
Então, substituindo na equação de :

Passo 8

Portanto, a parametrização do plano é:
onde são números reais.

Passo 9

Vamos agora para a parte c) do exercício. O enunciado pede para obter uma parametrização da superfície , que é a rotação em torno do eixo do conjunto . Aqui, estamos falando de rotação de uma curva ao redor do eixo , o que gera uma superfície de revolução.

Passo 10

Primeiro, entendemos que o conjunto representa uma curva no plano , onde e para . Ao rotacionar essa curva em torno do eixo , cada ponto da curva gera um círculo paralelo ao plano .

Passo 11

Para parametrizar a superfície resultante, usamos dois parâmetros: para o ângulo de rotação e para a posição ao longo do eixo original. As coordenadas em termos desses parâmetros são:
onde é a distância do ponto à rotação, que no caso é zero, mas considerando a rotação, a posição radial em e será determinada pela rotação.

Passo 12

Na verdade, para uma rotação ao redor do eixo , a coordenada será e será . Portanto, a parametrização fica:
onde e varia de a .

Passo 13

Por fim, vamos resolver a parte d) do exercício. O enunciado solicita uma parametrização da superfície , que é a rotação em torno do eixo do conjunto . Aqui, representa um círculo no plano deslocado, e queremos rotacioná-lo ao redor do eixo para gerar uma superfície.

Passo 14

Observamos que o conjunto é um círculo de raio 1 no plano , centrado em . Ao rotacionar este círculo em torno do eixo , cada ponto gera um círculo maior, formando uma superfície conhecida como toroide.

Passo 15

Para parametrizar a superfície, usamos dois parâmetros: para o ângulo de rotação em torno do eixo e para o ângulo no círculo original. As coordenadas são:
onde varia de a e também varia de a .

Passo 16

Explicando cada termo:
  • desloca o círculo para que esteja centrado a uma distância 2 do eixo .
  • e distribuem o círculo ao redor do eixo .

Resposta

A parametrização da superfície é:
onde .

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© Mostre que .