a)
b) .
c) Usando a função gama mostre que

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse é um problema de cálculo integral onde usamos a Função Gama. A Função Gama é útil para resolver integrais que envolvem exponenciais e potências de . Para resolver isso, precisamos lembrar como a Função Gama se relaciona com integrais desse tipo.

Passo 2

A Definição da Função Gama é:
Comparando com nossa integral, queremos que o expoente de seja . Para isso, vamos fazer um ajuste.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para ajustar o expoente. Seja , então e .

Passo 4

Substituindo na integral:

Passo 5

Simplificando os termos constantes:

Passo 6

Reconhecemos que a integral resultante é a Definição da Função Gama com :
Sabemos que:

Passo 7

Substituindo de volta:
Simplificando ainda mais:

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral onde . Esse também é um caso que podemos resolver usando a Função Gama. Precisamos identificar os termos que correspondem à definição da Função Gama.

Passo 9

Usando a Definição da Função Gama:
Queremos ajustar nossa integral para se encaixar nessa forma.

Passo 10

Vamos fazer uma mudança de variável similar. Seja , então e .

Passo 11

Substituindo na integral:

Passo 12

Simplificando os termos constantes:

Passo 13

A integral resultante é a Definição da Função Gama com :
Sabemos que:

Passo 14

Substituindo de volta:

Passo 15

Vamos mostrar que usando a Função Gama. Aqui, . Precisamos relacionar a integral com a Definição da Função Gama e manipular para obter a expressão desejada.

Passo 16

Primeiro, lembramos da Definição da Função Gama:
Porém, nossa integral está de 0 a 1 e não envolve exponenciais. Vamos fazer uma conexão diferente.

Passo 17

Consideramos a integral:
Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:

Passo 18

Aplicando a integração por partes:
Avaliaremos os limites posteriormente.

Passo 19

Simplificando a segunda integral:
O termo de se anula porque e quando , para .

Resposta

A integral vale .

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a) Mostre que a fórmula é válida para .
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© Mostre que .
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