Vamos resolver a integral . Esse é um problema de cálculo integral onde usamos a Função Gama. A Função Gama é útil para resolver integrais que envolvem exponenciais e potências de . Para resolver isso, precisamos lembrar como a Função Gama se relaciona com integrais desse tipo.
Passo 2
A Definição da Função Gama é:
Comparando com nossa integral, queremos que o expoente de seja . Para isso, vamos fazer um ajuste.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para ajustar o expoente. Seja , então e .
Passo 4
Substituindo na integral:
Passo 5
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Reconhecemos que a integral resultante é a Definição da Função Gama com :
Sabemos que:
Passo 7
Substituindo de volta:
Simplificando ainda mais:
Passo 8
Agora, vamos resolver a integral onde . Esse também é um caso que podemos resolver usando a Função Gama. Precisamos identificar os termos que correspondem à definição da Função Gama.
Passo 9
Usando a Definição da Função Gama:
Queremos ajustar nossa integral para se encaixar nessa forma.
Passo 10
Vamos fazer uma mudança de variável similar. Seja , então e .
Passo 11
Substituindo na integral:
Passo 12
Simplificando os termos constantes:
Passo 13
A integral resultante é a Definição da Função Gama com :
Sabemos que:
Passo 14
Substituindo de volta:
Passo 15
Vamos mostrar que usando a Função Gama. Aqui, . Precisamos relacionar a integral com a Definição da Função Gama e manipular para obter a expressão desejada.
Passo 16
Primeiro, lembramos da Definição da Função Gama:
Porém, nossa integral está de 0 a 1 e não envolve exponenciais. Vamos fazer uma conexão diferente.
Passo 17
Consideramos a integral:
Vamos usar integração por partes, onde escolhemos: