a) integral0^infty e^-3 x x^32 d x
b) integral0^infty e^-alpha x x^12 d x com alpha>0.
c) Usando a função gama mostre que
integral0^1 x^k ln x d x=-1(k+1)^2 k>-1

Passo 1

Vamos resolver a integral integral0^infty e^-3 x x^32 d x. Esse é um problema de cálculo integral onde usamos a Função Gama. A Função Gama é útil para resolver integrais que envolvem exponenciais e potências de . Para resolver isso, precisamos lembrar como a Função Gama se relaciona com integrais desse tipo.

Passo 2

A Definição da Função Gama é:
Gamma(n) = integral0^infty e^-x x^n-1 dx
Comparando com nossa integral, queremos que o expoente de seja . Para isso, vamos fazer um ajuste.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para ajustar o expoente. Seja , então e .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral0^infty e^-3x x^32 dx = integral0^infty e^-u (u3)^32 du3

Passo 5

Simplificando os termos constantes:
= 13^52 integral0^infty e^-u u^32 du

Passo 6

Reconhecemos que a integral resultante é a Definição da Função Gama com Gamma(52) :
Gamma(52) = 3raizpi4
Sabemos que:

Passo 7

Substituindo de volta:
13^52 times 3raizpi4 = raizpi4 times 3^32 = raizpi4 times 3 raiz3 = raizpi12 raiz3
Simplificando ainda mais:
= raizpi12 raiz3 = raizpi12 raiz3 times raiz3raiz3 = raizpi raiz336 = raiz3pi36 = raiz3pi36

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral integral0^infty e^-alpha x x^12 d x onde . Esse também é um caso que podemos resolver usando a Função Gama. Precisamos identificar os termos que correspondem à definição da Função Gama.

Passo 9

Usando a Definição da Função Gama:
Gamma(n) = integral0^infty e^-x x^n-1 dx
Queremos ajustar nossa integral para se encaixar nessa forma.

Passo 10

Vamos fazer uma mudança de variável similar. Seja , então e .

Passo 11

Substituindo na integral:
integral0^infty e^-alpha x x^12 dx = integral0^infty e^-u (ualpha)^12 dualpha

Passo 12

Simplificando os termos constantes:
= 1alpha^32 integral0^infty e^-u u^12 du

Passo 13

A integral resultante é a Definição da Função Gama com Gamma(32) :
Gamma(32) = raizpi2
Sabemos que:

Passo 14

Substituindo de volta:
1alpha^32 times raizpi2 = raizpi2 alpha^32

Passo 15

Vamos mostrar que integral0^1 x^k ln x , dx = -1(k+1)^2 usando a Função Gama. Aqui, . Precisamos relacionar a integral com a Definição da Função Gama e manipular para obter a expressão desejada.

Passo 16

Primeiro, lembramos da Definição da Função Gama:
Gamma(n) = integral0^infty e^-x x^n-1 dx
Porém, nossa integral está de 0 a 1 e não envolve exponenciais. Vamos fazer uma conexão diferente.

Passo 17

Consideramos a integral:
integral0^1 x^k ln x , dx
Vamos usar integração por partes, onde escolhemos:

Passo 18

Aplicando a integração por partes:
uv - integral v , du = ln x cdot x^k+1k+1 g|0^1 - integral0^1 x^k+1k+1 cdot 1x dx
Avaliaremos os limites posteriormente.

Passo 19

Simplificando a segunda integral:
- 1k+1 integral0^1 x^k dx = - 1k+1 cdot 1k+1 = -1(k+1)^2
O termo de se anula porque e quando , para .

Resposta

A integral vale -1(k+1)^2.

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