© Mostre que o produto é contínuo em 0 , onde é a função do item ?? e é a função do item ??.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o produto das funções e é contínuo em 0. Isso significa que, quando chega perto de 0, o valor de também chega perto de . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para ser contínua em 0, temos:
E o mesmo vale para :

Passo 3

Agora, queremos mostrar que é contínuo em 0. Isso significa que:
Para provar isso, vamos usar uma regra de limites que diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam.

Passo 4

Sabemos que e são contínuas em 0, então os limites:
Existem e são finitos.

Passo 5

Aplicando a regra do produto de limites:
Isso mostra que o limite do produto quando tende a 0 é igual ao produto dos valores das funções em 0.

Resposta

Portanto, o produto é contínuo em 0 porque .

Exercícios relacionados

Discuta a continuidade das funções abaixo:
(a) ;
Determine os intervalos nos quais a função dada é contínua.
(a) ;
Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.
Encontre os valores de e que fazem com que a função dada abaixo seja contínua em :