© Mostre que o produto
é contínuo em 0 , onde
é a função do item ?? e
é a função do item ??.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que o produto das funções
e
é contínuo em 0. Isso significa que, quando
chega perto de 0, o valor de
também chega perto de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, para
ser contínua em 0, temos:
E o mesmo vale para
:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é contínuo em 0. Isso significa que:
Para provar isso, vamos usar uma regra de limites que diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam.
Passo 4
Sabemos que
e
são contínuas em 0, então os limites:
Existem e são finitos.
Passo 5
Aplicando a regra do produto de limites:
Isso mostra que o limite do produto
quando
tende a 0 é igual ao produto dos valores das funções em 0.
Resposta
Portanto, o produto
é contínuo em 0 porque
.
Exercícios relacionados
Discuta a continuidade das funções abaixo:
(a) ;
(a)
Determine os intervalos nos quais a função dada é contínua.
(a) ;
(a)
Para cada função
abaixo, determine todos os valores de
para os quais
é contínua.
Encontre os valores de
e
que fazem com que a função
dada abaixo seja contínua em
: