Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de a função é contínua. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções, que essencialmente nos diz onde a função está “suave” e não tem quebras ou interrupções. Para resolver isso, precisamos entender os domínios das funções envolvidas e garantir que tudo dentro da raiz quadrada esteja definido e positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da raiz quadrada: . Para a raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero, ou seja:
Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, temos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade . Para isso, analisamos onde a expressão é positiva ou zero. O sinal dessa fração depende dos sinais do numerador e do denominador .
Vamos encontrar os pontos onde o numerador ou o denominador são zero:
Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:

Passo 4

Vamos testar cada intervalo para ver onde a fração é positiva ou zero:
  1. Para :
    • (positivo)
    • (negativo)
    • Então,
  2. Para :
    • (positivo)
    • (positivo)
    • Então,
  3. Para :
    • (negativo)
    • (positivo)
    • Então,
Além disso, no ponto , a fração é zero, o que satisfaz a desigualdade .

Passo 5

Então, a fração é maior ou igual a zero nos intervalos onde . Entretanto, lembrando que não pode ser igual a , porque isso tornaria o denominador zero e a expressão indefinida.

Resposta

A função é contínua para todos os valores de no intervalo .

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© Mostre que o produto é contínuo em 0 , onde é a função do item ?? e é a função do item ??.
Discuta a continuidade das funções abaixo:
(a) ;
Encontre os valores de e que fazem com que a função dada abaixo seja contínua em :
Discuta a continuidade das funções abaixo: