Para cada função
abaixo, determine todos os valores de
para os quais
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de
a função
é contínua. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções, que essencialmente nos diz onde a função está “suave” e não tem quebras ou interrupções. Para resolver isso, precisamos entender os domínios das funções envolvidas e garantir que tudo dentro da raiz quadrada esteja definido e positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da raiz quadrada:
. Para a raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela tem que ser maior ou igual a zero, ou seja:
Além disso, precisamos garantir que o denominador
não seja zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, temos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, analisamos onde a expressão é positiva ou zero. O sinal dessa fração depende dos sinais do numerador
e do denominador
.
Vamos encontrar os pontos onde o numerador ou o denominador são zero:
Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
Passo 4
Vamos testar cada intervalo para ver onde a fração é positiva ou zero:
-
Para
: -
(positivo) -
(negativo) - Então,
-
-
Para
: -
(positivo) -
(positivo) - Então,
-
-
Para
: -
(negativo) -
(positivo) - Então,
-
Além disso, no ponto
, a fração é zero, o que satisfaz a desigualdade
.
Passo 5
Então, a fração
é maior ou igual a zero nos intervalos onde
. Entretanto, lembrando que
não pode ser igual a
, porque isso tornaria o denominador zero e a expressão indefinida.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
no intervalo
.
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© Mostre que o produto
é contínuo em 0 , onde
é a função do item ?? e
é a função do item ??.
Discuta a continuidade das funções abaixo:
(a) ;
(a)
Encontre os valores de
e
que fazem com que a função
dada abaixo seja contínua em
:
Discuta a continuidade das funções abaixo: