Encontre os valores de e que fazem com que a função dada abaixo seja contínua em :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores de e que fazem com que a função seja contínua em todos os números reais ( ). A função está definida da seguinte forma:
Aqui, precisamos garantir que não haja “saltos” na função em . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que o limite da função pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite pelo lado direito e também ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função quando . Como , usamos a primeira parte da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função pelo lado esquerdo de . Isso significa que estamos olhando para valores de que são menores que 4, mas se aproximando de 4:

Passo 4

Em seguida, calculamos o limite pelo lado direito de . Aqui, consideramos valores de maiores que 4, mas bem próximos de 4:

Passo 5

Para que a função seja contínua em , os limites laterais devem ser iguais ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, determine todos os valores de para os quais é contínua.
© Mostre que o produto é contínuo em 0 , onde é a função do item ?? e é a função do item ??.
Discuta a continuidade das funções abaixo:
Seja uma função que é contínua em 0 e tal que para todo . Mostre que é contínua em todo ponto .