© Mostre que, para qualquer equação linear na forma
d y/d x + P(x) y = 0
se y*(x) é uma solução, então, para qualquer constante C, h(x) = C * y*(x) também é uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, para qualquer equação linear da forma
se y*(x) é uma solução, então qualquer múltiplo dessa solução, ou seja, , também é solução. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de soluções de equações diferenciais lineares e como constantes multiplicativas afetam essas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se y*(x) é uma solução da equação, isso significa que ela satisfaz a equação original. Ou seja:
Isso é o ponto de partida para provar que também satisfaz a equação.

Passo 3

Agora, vamos definir , onde C é uma constante qualquer. Nosso objetivo é mostrar que h(x) também satisfaz a equação diferencial:

Passo 4

Vamos calcular a derivada de h(x) em relação a x. Como C é uma constante, temos:

Passo 5

Substituindo h(x) e sua derivada na equação diferencial, fica:
Podemos fatorar o C:

Passo 6

Sabemos pelo passo 2 que , então substituindo isso na equação acima:
o que é verdade para qualquer constante C.

Resposta

Portanto, mostramos que também é uma solução da equação para qualquer constante C.

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