© Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se
é uma solução, então, para qualquer constante C,
também é uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, para qualquer equação linear da forma
se
é uma solução, então qualquer múltiplo dessa solução, ou seja,
, também é solução. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de soluções de equações diferenciais lineares e como constantes multiplicativas afetam essas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é uma solução da equação, isso significa que ela satisfaz a equação original. Ou seja:
Isso é o ponto de partida para provar que
também satisfaz a equação.
Passo 3
Agora, vamos definir
, onde
é uma constante qualquer. Nosso objetivo é mostrar que
também satisfaz a equação diferencial:
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Como
é uma constante, temos:
Passo 5
Substituindo
e sua derivada na equação diferencial, fica:
Podemos fatorar o
:
Passo 6
Sabemos pelo passo 2 que
, então substituindo isso na equação acima:
o que é verdade para qualquer constante
.
Resposta
Portanto, mostramos que
também é uma solução da equação
para qualquer constante
.