Resolva as equações abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial
. Vamos resolver essa equação utilizando conceitos de equações diferenciais, verificando se ela é exata e, se não for, encontrando um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a equação resultante se torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de
.
Calculamos:
Como o resultado é uma função de
apenas, o fator integrante
é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Agora que a equação está exata, podemos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Igualando isso à função
:
Isso nos mostra que
, ou seja,
é uma constante.
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é dada pela função potencial igual a uma constante:
Resposta
A solução geral é
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações abaixo:
© Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se
é uma solução, então, para qualquer constante C,
também é uma solução.
Proceda como no Exemplo 6 do livro texto (página 62) para resolver o problema de valor inicial dado. Use um software gráfico para representar a função contínua
.
, donde
Resolva as equações abaixo: