Resolva as equações abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial . Vamos resolver essa equação utilizando conceitos de equações diferenciais, verificando se ela é exata e, se não for, encontrando um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Calculando:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a equação resultante se torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de .
Calculamos:
Como o resultado é uma função de apenas, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Agora que a equação está exata, podemos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Igualando isso à função :
Isso nos mostra que , ou seja, é uma constante.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é dada pela função potencial igual a uma constante:

Resposta

A solução geral é .

Exercícios relacionados

Resolva as equações abaixo:
© Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se é uma solução, então, para qualquer constante C, também é uma solução.
Proceda como no Exemplo 6 do livro texto (página 62) para resolver o problema de valor inicial dado. Use um software gráfico para representar a função contínua .
, donde
Resolva as equações abaixo: