Resolva as equações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver uma equação diferencial do tipo . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar da técnica do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para o padrão . Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos simplificar a integral no expoente.

Passo 4

Vamos resolver a integral :
Isso se simplifica para:
Porém, para o fator integrante, podemos ignorar a constante de integração, então temos:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Simplificando a integral:
Essa integral pode ser complicada, mas vamos assumir que ela pode ser expressa em termos de funções conhecidas ou pode ser deixada na forma integral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

© Mostre que, para qualquer equação linear na forma
se é uma solução, então, para qualquer constante C, também é uma solução.
(a) Mostre que é uma solução da equação linear
e é uma solução da equação não linear
Resolva as equações abaixo:
Proceda como no Exemplo 6 do livro texto (página 62) para resolver o problema de valor inicial dado. Use um software gráfico para representar a função contínua .
, donde