Resolva as equações abaixo:
(1 - x^2) d y / d x - x^2 y = (1 + x) raiz(1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver uma equação diferencial do tipo . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar da técnica do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para o padrão . Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos simplificar a integral no expoente.

Passo 4

Vamos resolver a integral :
Isso se simplifica para:
Porém, para o fator integrante, podemos ignorar a constante de integração, então temos:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Simplificando a integral:
Essa integral pode ser complicada, mas vamos assumir que ela pode ser expressa em termos de funções conhecidas ou pode ser deixada na forma integral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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