Resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, que envolve a derivada de
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por
:
Agora, podemos identificar as funções
e
:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica a equação inteira para facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular isso:
Como
está no denominador original, assumimos que
, então podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Com o fator integrante aplicado, a equação da esquerda se torna a derivada de
. Ou seja:
Agora, para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Podemos simplificar isso ainda mais:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.