Resolva as equações abaixo:
x dy/dx + 3(y + x^2) = sen(x)/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, que envolve a derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por :
Agora, podemos identificar as funções e :

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica a equação inteira para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular isso:
Como está no denominador original, assumimos que , então podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando os termos:

Passo 5

Com o fator integrante aplicado, a equação da esquerda se torna a derivada de . Ou seja:
Agora, para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :
Podemos simplificar isso ainda mais:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

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