© Mostre que se então a magnitude de qualquer solução não trivial (isto é, que não é identicamente nula) tenderá a quando .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, se a parte real de for maior que zero ( ), então a magnitude de qualquer solução não trivial tende ao infinito quando vai para mais infinito ( ). Vamos usar conceitos de equações diferenciais e números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que geralmente tem a forma:
Aqui, é uma constante e é uma constante que pode ser complexa.

Passo 3

A magnitude dessa solução é dada por:
Sabemos que , onde é a parte real de .

Passo 4

Como estamos assumindo que , a expressão cresce exponencialmente conforme aumenta. Isso significa que:

Passo 5

Em outras palavras, quando a parte real de é positiva, a solução não trivial (ou seja, ) cresce sem limites à medida que vai para mais infinito.

Resposta

Portanto, se , a magnitude de qualquer solução não trivial tende a quando .

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