© Mostre que se
então a magnitude de qualquer solução não trivial (isto é, que não é identicamente nula) tenderá a
quando
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, se a parte real de
for maior que zero (
), então a magnitude de qualquer solução não trivial tende ao infinito quando
vai para mais infinito (
). Vamos usar conceitos de equações diferenciais e números complexos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que geralmente tem a forma:
Aqui,
é uma constante e
é uma constante que pode ser complexa.
Passo 3
A magnitude dessa solução é dada por:
Sabemos que
, onde
é a parte real de
.
Passo 4
Como estamos assumindo que
, a expressão
cresce exponencialmente conforme
aumenta. Isso significa que:
Passo 5
Em outras palavras, quando a parte real de
é positiva, a solução
não trivial (ou seja,
) cresce sem limites à medida que
vai para mais infinito.
Resposta
Portanto, se
, a magnitude de qualquer solução não trivial tende a
quando
.
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