Um corpo a uma temperatura desconhecida coloca-se em um refrigerador a uma temperatura constante de se depois de 20 minutos a temperatura do corpo é de e depois de 40 minutos é , encontre a temperatura inicial deste corpo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a queda de temperatura de um corpo colocando-no em um refrigerador. A matéria envolvida aqui é o Resfriamento de Newton, que estuda como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando colocado em um ambiente com temperatura constante. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula do Resfriamento de Newton e usar os dados fornecidos para encontrar a temperatura inicial do corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente . Matematicamente, isso é:
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo .
  • é a temperatura do ambiente (no caso, ).
  • é a constante de proporcionalidade positiva.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, rearranjamos para separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Então, a solução geral é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as constantes e usando os dados fornecidos.
sabemos que:
  • Após 20 minutos ( ),
  • Após 40 minutos ( ),
Vamos usar essas informações na equação:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 6

Com o valor de , podemos encontrar usando a primeira equação:
Substituindo :

Passo 7

Agora que temos , podemos escrever a equação completa da temperatura:

Resposta

A temperatura inicial do corpo era de 80 .

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