Um corpo a uma temperatura desconhecida coloca-se em um refrigerador a uma temperatura constante de
se depois de 20 minutos a temperatura do corpo é de
e depois de 40 minutos é
, encontre a temperatura inicial deste corpo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre a queda de temperatura de um corpo colocando-no em um refrigerador. A matéria envolvida aqui é o Resfriamento de Newton, que estuda como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando colocado em um ambiente com temperatura constante. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula do Resfriamento de Newton e usar os dados fornecidos para encontrar a temperatura inicial do corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto
e a temperatura do ambiente
. Matematicamente, isso é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura do ambiente (no caso, ). -
é a constante de proporcionalidade positiva.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, rearranjamos para separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Então, a solução geral é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as constantes
e
usando os dados fornecidos.
sabemos que:
-
- Após 20 minutos (
), - Após 40 minutos (
),
Vamos usar essas informações na equação:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 6
Com o valor de
, podemos encontrar
usando a primeira equação:
Substituindo
:
Passo 7
Agora que temos
, podemos escrever a equação completa da temperatura:
Resposta
A temperatura inicial do corpo era de 80
.
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então a magnitude de qualquer solução não trivial (isto é, que não é identicamente nula) tenderá a
quando
.
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impulsionado pela força eletromotriz
quando
henry
ohm,
volts e
.
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qualquer.