Encontre a intensidade de corrente que circula por um circuito
impulsionado pela força eletromotriz
quando
henry
ohm,
volts e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito com resistência ® e indutância (L) sendo alimentado por uma força eletromotriz que varia com o tempo:
. A gente precisa encontrar a intensidade da corrente
que circula nesse circuito. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo resistores e indutores, além de resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da lei de Kirchhoff para um circuito R-L. A tensão total
fornecida pela fonte é igual à soma das quedas de tensão no resistor e no indutor. Matematicamente, isso fica:
Sabemos que
e
. Então, substituindo na equação:
Passo 3
Vamos substituir os valores dados no exercício na equação que montamos:
-
volts -
ohms -
henrys -
(a corrente inicial é zero)
A equação fica assim:
Passo 4
Agora, vamos rearranjar a equação para facilitar a solução:
Dividindo todos os termos por 0,4 para simplificar:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado direito envolve produtos de expoentes e funções trigonométricas. Usando a fórmula de integração para
, temos:
Aqui,
e
. Então:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Simplificando os expoentes:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 9
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A intensidade da corrente no circuito é dada por:
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Se o
de uma sustância radioativa desintegra-se em 200 anos. Qual é sua vida média? Em quanto tempo desintegrará
da quantidade original?
Calcule as integrais a seguir:
© Mostre que se
então a magnitude de qualquer solução não trivial (isto é, que não é identicamente nula) tenderá a
quando
.
Um corpo a uma temperatura desconhecida coloca-se em um refrigerador a uma temperatura constante de
se depois de 20 minutos a temperatura do corpo é de
e depois de 40 minutos é
, encontre a temperatura inicial deste corpo.