Encontre a intensidade de corrente que circula por um circuito impulsionado pela força eletromotriz quando henry ohm, volts e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito com resistência ® e indutância (L) sendo alimentado por uma força eletromotriz que varia com o tempo: . A gente precisa encontrar a intensidade da corrente que circula nesse circuito. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo resistores e indutores, além de resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei de Kirchhoff para um circuito R-L. A tensão total fornecida pela fonte é igual à soma das quedas de tensão no resistor e no indutor. Matematicamente, isso fica:
Sabemos que e . Então, substituindo na equação:

Passo 3

Vamos substituir os valores dados no exercício na equação que montamos:
  • volts
  • ohms
  • henrys
  • (a corrente inicial é zero)
A equação fica assim:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação para facilitar a solução:
Dividindo todos os termos por 0,4 para simplificar:
Simplificando os coeficientes:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pela :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado direito envolve produtos de expoentes e funções trigonométricas. Usando a fórmula de integração para , temos:
Aqui, e . Então:

Passo 7

Agora, isolamos :
Simplificando os expoentes:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 9

Finalmente, substituímos na expressão de :

Resposta

A intensidade da corrente no circuito é dada por:

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