Se sabemos que um material radioativo desintegra-se de forma proporcional à quantidade presente. Se depois de 1 hora observa-se que o 10 % do material desintegrou-se. Encontre a vida média do material.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos um material radioativo que se desintegra de forma proporcional à quantidade que está presente. Isso significa que a taxa de desintegração depende diretamente da quantidade do material. A pergunta nos informa que, após 1 hora, 10% do material se desintegrou. Nosso objetivo é descobrir qual é a vida média desse material, ou seja, o tempo médio que leva para o material se desintegrar completamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula que descreve a desintegração exponencial:
Onde:
  • é a quantidade de material restante no tempo .
  • é a quantidade inicial de material.
  • é a constante de desintegração.
  • é o tempo.

Passo 3

Sabemos que após 1 hora, 10% do material se desintegrou. Isso significa que 90% do material ainda está presente. Podemos expressar isso na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação. Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 6

Calculando o valor de :

Passo 7

A vida média ( ) é o tempo médio para a desintegração e está relacionado com pela fórmula:

Passo 8

Substituindo o valor de :

Resposta

A vida média do material é aproximadamente 9,51 horas.

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