Se sabemos que um material radioativo desintegra-se de forma proporcional à quantidade presente. Se depois de 1 hora observa-se que o do material desintegrou-se. Encontre a vida média do material.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos um material radioativo que se desintegra de forma proporcional à quantidade que está presente. Isso significa que a taxa de desintegração depende diretamente da quantidade do material. A pergunta nos informa que, após 1 hora, 10% do material se desintegrou. Nosso objetivo é descobrir qual é a vida média desse material, ou seja, o tempo médio que leva para o material se desintegrar completamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula que descreve a desintegração exponencial:
Onde:
é a quantidade de material restante no tempo .
é a quantidade inicial de material.
é a constante de desintegração.
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que após 1 hora, 10% do material se desintegrou. Isso significa que 90% do material ainda está presente. Podemos expressar isso na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação. Podemos dividir ambos os lados por :
Passo 5
Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 6
Calculando o valor de :
Passo 7
A vida média () é o tempo médio para a desintegração e está relacionado com pela fórmula:
Passo 8
Substituindo o valor de :
Resposta
A vida média do material é aproximadamente 9,51 horas.