c) Mostre que sumn=1^infty 1n 2^n=ln 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a soma da série infinita sumn=1^infty 1n cdot 2^n é igual a ln 2. Esse tipo de problema está relacionado a séries infinitas e séries de potências, onde a gente precisa entender como somar termos que continuam indefinidamente. Para resolver, vamos usar uma fórmula conhecida de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante: a soma de uma série de potências da forma sumn=1^infty x^nn é igual a -ln(1 - x), onde |x| < 1. Essa relação é útil quando trabalhamos com séries que têm termos envolvendo potências e denominadores lineares.

Passo 3

No nosso exercício, temos sumn=1^infty 1n cdot 2^n. Podemos reescrever isso como sumn=1^infty (1/2)^nn. Observa que isso se encaixa na fórmula que mencionamos, onde x = 12.

Passo 4

Agora, substituímos x = 12 na fórmula:
sumn=1^infty (12)^nn = -ln(1 - 12)

Passo 5

Calculando o que está dentro do logaritmo:
1 - 12 = 12
Então:
-ln(12) = ln 2
(Lembrando que -ln(1a) = ln a)

Resposta

Portanto, sumn=1^infty 1n cdot 2^n = ln 2.

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