c) Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a soma da série infinita
é igual a
. Esse tipo de problema está relacionado a séries infinitas e séries de potências, onde a gente precisa entender como somar termos que continuam indefinidamente. Para resolver, vamos usar uma fórmula conhecida de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante: a soma de uma série de potências da forma
é igual a
, onde
. Essa relação é útil quando trabalhamos com séries que têm termos envolvendo potências e denominadores lineares.
Passo 3
No nosso exercício, temos
. Podemos reescrever isso como
. Observa que isso se encaixa na fórmula que mencionamos, onde
.
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula:
Passo 5
Calculando o que está dentro do logaritmo:
Então:
(Lembrando que
)
Resposta
Portanto,
.