c) Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a soma da série infinita é igual a . Esse tipo de problema está relacionado a séries infinitas e séries de potências, onde a gente precisa entender como somar termos que continuam indefinidamente. Para resolver, vamos usar uma fórmula conhecida de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante: a soma de uma série de potências da forma é igual a , onde . Essa relação é útil quando trabalhamos com séries que têm termos envolvendo potências e denominadores lineares.

Passo 3

No nosso exercício, temos . Podemos reescrever isso como . Observa que isso se encaixa na fórmula que mencionamos, onde .

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula:

Passo 5

Calculando o que está dentro do logaritmo:
Então:
(Lembrando que )

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: f) ( ) é divergente.
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: b)
Para cada uma das funções a seguir, calcule (i) gradiente de , (ii) gradiente de no ponto .
Determine os valores máximo e mínimo locais e os pontos de sela das funções a seguir