Seja sumn=1^infty an x^n uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: f) ( ) sumn=1^infty 5^n an é divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências da forma com raio de convergência igual a 2. O enunciado pergunta se a série é necessariamente divergente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre séries de potências, raio de convergência e o teste de convergência de séries infinitas.

Passo 2

O raio de convergência de uma série de potências nos diz para quais valores de a série converge. No nosso caso, o raio de convergência é 2, o que significa que a série original converge para e diverge para . No ponto , a convergência depende de cada caso específico.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série . Podemos reescrever essa série como , ou seja, estamos substituindo por 5 na série original.

Passo 4

Como o raio de convergência é 2, sabemos que a série converge quando e diverge quando . No nosso caso, , que é maior que 2. Portanto, a série está fora do intervalo de convergência.

Passo 5

Dessa forma, como , a série necessariamente diverge, já que está fora do raio de convergência definido.

Resposta

A afirmação f) é necessariamente verdadeira. A série é divergente.

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