Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: f) ( )
é divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências da forma
com raio de convergência igual a 2. O enunciado pergunta se a série
é necessariamente divergente. Para resolver isso, vamos precisar conhecer sobre séries de potências, raio de convergência e o teste de convergência de séries infinitas.
Passo 2
O raio de convergência de uma série de potências nos diz para quais valores de
a série converge. No nosso caso, o raio de convergência é 2, o que significa que a série original converge para
e diverge para
. No ponto
, a convergência depende de cada caso específico.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série
. Podemos reescrever essa série como
, ou seja, estamos substituindo
por 5 na série original.
Passo 4
Como o raio de convergência é 2, sabemos que a série converge quando
e diverge quando
. No nosso caso,
, que é maior que 2. Portanto, a série
está fora do intervalo de convergência.
Passo 5
Dessa forma, como
, a série
necessariamente diverge, já que está fora do raio de convergência definido.
Resposta
A afirmação f) é necessariamente verdadeira. A série
é divergente.