Determine os valores máximo e mínimo locais e os pontos de sela das funções a seguir
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar a natureza dos pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero ou não existem. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde
e
.
Primeiro, igualamos
a zero:
Em seguida, igualamos
a zero:
Passo 6
Agora, combinamos os valores de
e
encontrados para determinar os pontos críticos:
-
e -
e -
e -
e
Antes de prosseguir, precisamos verificar se esses pontos estão no domínio da função, ou seja, se
.
Passo 7
Vamos verificar cada ponto:
-
, :
-
, :
-
, :
-
, :
Portanto, os pontos críticos válidos são
e
.
Passo 8
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
Simplificando, mas para facilitar, vamos calcular o discriminante
diretamente nos pontos críticos.
Passo 9
Calculando o discriminante
no ponto
:
Primeiro, calculamos
,
e
:
Quando
, o teste da segunda derivada é inconclusivo.
Passo 10
Agora, calculamos o discriminante
no ponto
:
Passo 11
Como o teste da segunda derivada resultou em
para ambos os pontos críticos, ele não nos ajuda a determinar a natureza desses pontos. Nesse caso, precisamos analisar a função de outra forma para identificar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 12
Vamos analisar a função
próximo aos pontos críticos:
-
Em
: Se perturbarmose em torno de , podemos observar que os valores de podem aumentar ou diminuir dependendo da direção, indicando que esse ponto é um ponto de sela. -
Em
: Similarmente, perturbandoe em torno de , os valores de também mostram comportamento de aumento e diminuição, caracterizando um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos
e
são ambos pontos de sela da função
. Não há valores máximos ou mínimos locais.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções a seguir, calcule (i) gradiente de
, (ii) gradiente de
no ponto
.
c) Mostre que
.
Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.
Mostre que a série
diverge.