Determine os valores máximo e mínimo locais e os pontos de sela das funções a seguir

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar a natureza dos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero ou não existem. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde e .
Primeiro, igualamos a zero:
Em seguida, igualamos a zero:

Passo 6

Agora, combinamos os valores de e encontrados para determinar os pontos críticos:
  1. e
  2. e
  3. e
  4. e
Antes de prosseguir, precisamos verificar se esses pontos estão no domínio da função, ou seja, se .

Passo 7

Vamos verificar cada ponto:
  1. , :
ãáí
  1. , :
áí
  1. , :
áí
  1. , :
ãáí
Portanto, os pontos críticos válidos são e .

Passo 8

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
Simplificando, mas para facilitar, vamos calcular o discriminante diretamente nos pontos críticos.

Passo 9

Calculando o discriminante no ponto :
Primeiro, calculamos , e :
éã
Quando , o teste da segunda derivada é inconclusivo.

Passo 10

Agora, calculamos o discriminante no ponto :
é

Passo 11

Como o teste da segunda derivada resultou em para ambos os pontos críticos, ele não nos ajuda a determinar a natureza desses pontos. Nesse caso, precisamos analisar a função de outra forma para identificar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 12

Vamos analisar a função próximo aos pontos críticos:
  1. Em :
    Se perturbarmos e em torno de , podemos observar que os valores de podem aumentar ou diminuir dependendo da direção, indicando que esse ponto é um ponto de sela.
  2. Em :
    Similarmente, perturbando e em torno de , os valores de também mostram comportamento de aumento e diminuição, caracterizando um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos e são ambos pontos de sela da função . Não há valores máximos ou mínimos locais.

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções a seguir, calcule (i) gradiente de , (ii) gradiente de no ponto .
c) Mostre que .
Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.
Mostre que a série diverge.