Para cada uma das funções a seguir, calcule (i) gradiente de f, (ii) gradiente de f no ponto P. f(x, y) = x/y, P(2, 1)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão e identificar o que precisamos fazer. O exercício pede para calcular:
  1. (i) O gradiente da função .
  2. (ii) O gradiente dessa função no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, , é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. A fórmula do gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a :

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos em relação a :

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos montar o gradiente da função :

Passo 6

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico . Basta substituir e na expressão do gradiente:

Resposta

O gradiente da função é e, no ponto , o gradiente é .

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