Para cada uma das funções a seguir, calcule (i) gradiente de
, (ii) gradiente de
no ponto
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da questão e identificar o que precisamos fazer. O exercício pede para calcular:
- (i) O gradiente da função
. - (ii) O gradiente dessa função no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis,
, é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. A fórmula do gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos montar o gradiente da função
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
. Basta substituir
e
na expressão do gradiente:
Resposta
O gradiente da função
é
e, no ponto
, o gradiente é
.
Exercícios relacionados
c) Mostre que
.
Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: f) ( )
é divergente.
Determine os valores máximo e mínimo locais e os pontos de sela das funções a seguir
Verifique se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Em caso de convergir, determine sua soma.