© Obtenha a transformada de Laplace da função
Passo 1
Beleza! Você quer encontrar a transformada de Laplace da função
. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma funções do tempo
em funções da variável
, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e ver como aplicá-la à função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
No nosso caso,
. Então, substituindo na definição, temos:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa integral:
No entanto, essa integral não é uma das que geralmente calculamos nas aulas básicas de transformada de Laplace. A presença de
dentro do cosseno torna a função mais complicada, e não conseguimos resolver essa integral usando métodos elementares ou fórmulas padrão de transformadas de Laplace que conhecemos.
Passo 4
Quando nos deparamos com integrais como essa, que envolvem funções mais complexas como
, geralmente precisamos recorrer a funções especiais ou a métodos avançados. Nesse caso, a transformada de Laplace de
está relacionada a integrais conhecidas como integral de Fresnel.
A integral de Fresnel é definida por:
Essas integrais não possuem uma expressão fechada em termos de funções elementares, ou seja, não podemos escrevê-las usando apenas polinômios, exponenciais, logaritmos, senos, cossenos, etc.
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace da função
não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas. Ela é representada por uma integral que envolve funções especiais, como a integral de Fresnel:
Essa expressão é a forma mais simplificada que podemos obter para a transformada de Laplace de
sem utilizar funções especiais avançadas.
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a circunferência onde
são constantes reais com
.
a circunferência